第一篇 15 第三章 第四节 反比例函数的实际应用-【智乐星中考·学考传奇】2024年山东省中考数学精讲本（五四制）

2024山东 数 学 2024/2/6 1 反比例函数的实际应用 （2023·浙江台州）【跨学科·物理】科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度.密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：g/cm3）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1 g/cm3的水中时，h＝20 cm. （1）求h关于ρ的函数表达式； （2）当密度计悬浮在另一种液体中时， h＝25 cm，求该液体的密度ρ. 2 3 1.（2022·枣庄）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0 mg/L.环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标.整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5 mg/L.从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系： 4 5 （1）在整改过程中，当0≤x<3时，求硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； （2）在整改过程中，当x≥3时，求硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； （3）该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的 1.0 mg/L？为什么？ 时间x（天） 3 5 6 9 … 硫化物的浓度y（mg/L） 4.5 2.7 2.25 1.5 … 6 7 8 2.【生产生活情境】工厂对某种新型材料进行加工，首先要将其加温，使这种材料保持在一定温度范围内方可加工，如图是在这种材料的加工过程中，该材料的温度y（℃）时间x（min）变化的函数图象，已知该材料，初始温度为15 ℃，在温度上升阶段，y与x成一次函数关系，在第5分钟温度达到60 ℃后停止加温，在温度下降阶段，y与x成反比例关系. 9 （1）写出该材料温度上升和下降阶段，y与x的函数关系式： ①上升阶段：当0≤x≤5时，y＝　　　　； ②下降阶段：当x＞5时，y＝　　　　. （2）根据工艺要求，当材料的温度不低于30 ℃，可以进行产品加工，请问在图中所示的温度变化过程中，可以进行加工多长时间？ 10 11 3.【生产生活情境】家用电灭蚊器的发热部分使用了PTC发热材料，电阻R（单位：kΩ）随温度t（单位：℃）（在一定范围内）变化而变化.通电后该表记录了发热材料温度从上升到 30 ℃的过程中，发现电阻与温度有如下关系： t（℃） 10 15 20 30 R（kΩ） 6 4 3 2 12 （1）根据表中的数据，在图中描出实数对（t，R）的对应点，猜测并确定R与t之间的函数表达式并画出其图象； （2）当t≥30时，R与t间的函数表达式为R＝ t－6.在图中画出该函数图象； （3）根据以上信息，家用电灭蚊器在使用过程中，温度在什么范围内发热材料的电阻不超过6 kΩ？ 13 14 15 解：(1)设h关于ρ的函数表达式为 h＝eq \f(k,ρ)， 把ρ＝1，h＝20代入表达式得k＝1×20＝20， ∴h关于ρ的函数表达式为 h＝eq \f(20,ρ). (2)把 h＝25 代入 h＝eq \f(20,ρ)得25＝eq \f(20,ρ)， 解得ρ＝0.8. 答：该液体的密度ρ为 0.8 g/cm3. 解：(1)∵前3天的函数图象是线段， ∴设函数的表达式为y＝kx＋b(k≠0)． 把(0，12)，(3，4.5)代入得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝12，,3k＋b＝4.5，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－2.5，,b＝12，)) ∴当0≤x<3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为y＝－2.5x＋12. (2)由表格可知，当x≥3时，x，y满足xy＝13.5， ∴x与y满足反比例函数关系， ∴当x≥3时，y与x的函数表达式为y＝eq \f(27,2x). (3)能．理由如下：当x＝15时，y＝eq \f(27,2×15)＝0.9. ∵0.9<1， ∴该企业所排污水中硫化物的浓度能在15天以内不超过最高允许的1.0 mg/L. 解：(1)①9x＋15　②eq \f(300,x) (2)当0≤x≤5时，y＝9x＋15＝30，得x＝eq \f(5,3). ∵y随x的增大而增大，∴x≥eq \f(5,3)， 当x>5时，y＝eq \f(300,x)＝30，解得x＝10. ∵y随x的增大而减小，∴x≤10. 10－eq \f(5,3)＝eq \f(25,3)(min)． 答：可加工eq \f(25,3) min. 解：(1)由题意得当10≤t≤30时，设R和t的函数的表达式为 R＝eq \f(k,t). 把(10，6)代入 R＝eq \f(k,t)中，解得k＝