第一篇 14 方法专题三 平面直角坐标系中的面积问题-【智乐星中考·学考传奇】2024年山东省中考数学精讲本（五四制）

2024山东 数 学 2024/2/6 1 一 一条边在坐标轴上（或平行于坐标轴）的三角形的面积 2 3 1.如图，在△ABC中，点A，B，C的坐标分别为（1，0），（6，0）， （2，4），求△ABC的面积. 解：∵AB＝6－1＝5， ∴S△ABC＝ AB·4＝ ×5×4＝10. 4 2.如图，经过点B（1，0）的直线l1与直线l2：y＝2x＋4相交于点 P（－1，n）. （1）求n的值； （2）求△PAB的面积. 5 解：(1)∵点P(－1，n)在直线l2：y＝2x＋4上， ∴2×(－1)＋4＝n，∴n＝2. (2)∵直线l2：y＝2x＋4与x轴相交于点A， ∴点A的坐标为(－2，0)，∴AB＝3， ∴S△PAB＝ ×3×2＝3. 6 二 三条边都不在坐标轴上（或不平行于坐标轴）的三角形的面积 7 8 3.如图，在△AOB中，点A，O，B的坐标分别是（1，5），（0，0）， （4，2），求△AOB的面积. 9 10 11 12 13 14 三 一条边在坐标轴上（或平行于坐标轴）的四边形的面积 15 5.如图，四边形OABC在平面直角坐标系内，O，A，B，C四点的坐标分别为（0，0），（1，2），（5，4），（6，0），求四边形OABC的面积. 16 17 18 19 20 21 22 四 四条边都不在坐标轴上（或不平行于坐标轴）的四边形的面积 23 7.如图，四边形ABCD的四个顶点在平面直角坐标系内.A，B，C，D四个点的坐标分别为（4，4），（－3，2），（2，－1），（5，2）.求四边形ABCD的面积. 24 25 26 27 28 29 解：方法1：如图，过点A作AE⊥y轴于点E，过点B作BC⊥x轴于点C. 分别延长线段EA和线段CB，使它们相交于点D，则∠EDC＝90°. 由A，B两点的坐标可知OC＝4，BC＝2，BD＝3，AD＝3，AE＝1，OE＝5. S△AOB＝S矩形EOCD－S△AEO－S△ABD－S△OBC＝4×5－eq \f(1,2)×5×1－eq \f(1,2)×3×3－eq \f(1,2)×4×2 ＝20－eq \f(5,2)－eq \f(9,2)－4＝9. 方法2：如图，过点A作AP∥y轴交OB于点P，由题易知yOB＝eq \f(1,2)x， 当x＝1时，y＝eq \f(1,2)，∴P(1，eq \f(1,2))， ∴AP＝5－eq \f(1,2)＝eq \f(9,2)， ∴S△OAB＝eq \f(1,2)AP·|xB－xO|＝eq \f(1,2)×eq \f(9,2)×4＝9. 4.如图，已知正比例函数y1＝eq \f(4,3)x的图象与反比例函数y2＝eq \f(k,x)的图象相交于点 A（3，n）和点 B. （1）求n和k的值； （2）如图，以AO为边作菱形AOCD，使点C在x轴 正半轴上，点D在第一象限，双曲线交CD于点E， 连接AE，OE，求△AOE的面积. 解：(1)将点A(3，n)代入正比例函数y1＝eq \f(4,3)x得n＝4， ∴A(3，4)．将点A(3，4)代入反比例函数y2＝eq \f(k,x)得k＝12. (2)如图，过点A作AG⊥x轴，垂足为G. ∵A(3，4)，∴OG＝3，AG＝4， ∴在Rt△AOG中，AO＝eq \r(32＋42)＝5. ∵四边形AOCD是菱形， ∴OC＝OA＝5，S△AOE＝eq \f(1,2)S菱形AOCD， ∴S△AOE＝eq \f(1,2)OC·AG＝eq \f(1,2)×5×4＝10. 解：方法一：如图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作 BE⊥x轴于点E. 由点的坐标的意义可知AD＝2，OD＝1，DE＝4，EC＝1， BE＝4， ∴S四边形OABC＝S△AOD＋S直角梯形ADEB＋S△BEC ＝eq \f(1,2)×1×2＋eq \f(1,2)×(2＋4)×4＋eq \f(1,2)×1×4＝1＋12＋2＝15， ∴四边形OABC的面积为15. 方法二：如图，过点B作BF⊥y轴，交y轴于点F. 过点C作CG⊥BF于点G，过点A作AH⊥BF交于点H. S四边形OABC＝S矩形OCGF－S△BCG－S△ABH－S梯形AHFO ＝4×6－eq \f(1,2)×4×1－eq \f(1,2)×2×4－eq \f(1,2)×(2＋4)×1 ＝24－2－4－3＝15. 6.如图，一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝eq \f(k,x)的图象交于A，B两点，点A的坐标为（m，2），点B的坐标为（－4，n），OA与x轴正半轴夹角的正切值为eq \f(1,3)，AE⊥x轴，直线AB交y轴于点C，过C作y轴的垂线，交反比例函数图象于点D，连接OD，BD. （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）求四边形OCBD的面积. 解：(1)∵OA与x轴正