第一篇 03 方法专题一 整体思想的运用-【智乐星中考·学考传奇】2024年山东省中考数学精讲本（五四制）

2024山东 数 学 2024/2/6 1 一 遇“非负数相加和为零”用非负性 基本模型 非负数模型：|a|≥0，a2≥0， ≥0(a≥0)； 若a2＋ ＋|c|＝0，则a＝0，b＝0，c＝0 模型特征 形式相同的代数式出现多次，代数式具有非负性 模型应用 1.把形式相同的代数式可以看作一个整体； 2．应用非负性作为条件参与计算 2 3 4 5 二 遇“特殊代数式求值”用整体代入 基本模型 直接代入模型：当式子中的字母不能或者不容易求出具体的值时，可将条件看成一个整体，直接代入求值； 间接代入模型：当式子不能直接代入时，可对所求的式子或者已知的条件做适当的变形，使得变形后可以整体代入 适用题型 多项式求值问题、应用乘法公式问题、求方程组问题、分式化简求值问题 解题方法 将一个或几个代数式看成一个整体，灵活地进行等量代换 6 4.多项式求值问题： (1)(2021·湖北十堰)已知xy＝2，x－3y＝3，则2x3y－12x2y2＋18xy3 ＝________； (2)(2022·四川乐山)已知m2＋n2＋10＝6m－2n，则m－n＝________． (3)(2020·临沂)若a＋b＝1，则a2－b2＋2b－2＝________． 36　 4 －1 7 5．应用乘法公式问题： (1)(2022·江苏苏州)已知x＋y＝4，x－y＝6，则x2－y2＝________． (2)(2021·广东)若x＋ ＝ 且0＜x＜1，则x2－ ＝________； 24 8 6．(2022·济宁)已知a＝2＋ ，b＝2－ ，求代数式a2b＋ab2的值． 9 7．(2022·湖南岳阳)已知a2－2a＋1＝0，求代数式a(a－4)＋(a＋1)(a－1)＋1的值． 解：a(a－4)＋(a＋1)(a－1)＋1 ＝a2－4a＋a2－1＋1 ＝2a2－4a ＝2(a2－2a)． ∵a2－2a＋1＝0， ∴a2－2a＝－1 ∴原式＝2×(－1)＝－2. 10 －2　 －6 11 4 12 －2　 13 1.若eq \r(（2 024－m）2)＝m－2 024，求m的取值范围． 解：∵eq \r(（2 024－m）2)＝|2 024－m|，eq \r(（2 024－m）2)＝m－2 024， ∴|2 024－m|＝m－2 024，∴2 024－m≤0，∴m≥2 024. 2．已知|2 023－a|＋eq \r(a－2 024)＝a，求a－2 0232的值． 解：∵eq \r(a－2 024)≥0，∴a≥2 024，∴|2 023－a|＝a－2 023. ∵|2 023－a|＋eq \r(a－2 024)＝a，∴a－2 023＋eq \r(a－2 024)＝a， ∴eq \r(a－2 024)＝2 023，∴a－2 024＝2 0232， ∴a－2 0232＝2 024. 3．用配方法说明：无论a，b为何值，代数式a2＋b2＋6b＋11－2a 的值总是正数． 解：原式＝(a2－2a＋1)＋(b2＋6b＋9)＋1＝(a－1)2＋(b＋3)2＋1. ∵(a－1)2≥0，(b＋3)2≥0，∴(a－1)2＋(b＋3)2＋1＞0， 即原式的值总是正数． －eq \f(65,36) 解：∵a＝2＋eq \r(5)，b＝2－eq \r(5)， ∴a2b＋ab2 ＝ab(a＋b) ＝(2＋eq \r(5))(2－eq \r(5))(2＋eq \r(5)＋2－eq \r(5)) ＝(4－5)×4 ＝－1×4 ＝－4. 8．求方程组的问题： (1)(2021·枣庄)已知x，y满足方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x＋3y＝－1，,2x＋y＝3，))则x＋y的值为 ________； (2)(2021·四川广安)若x，y满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＝－2，,x＋2y＝3，))则代数式x2－4y2 的值为____________________． 9．分式化简求值问题： (1)(2021·福建)已知非零实数x，y满足 y＝eq \f(x,x＋1)， 则eq \f(x－y＋3xy,xy)的值等于________； (2)(2022·四川南充改编)已知a＞b＞0，且a2＋b2＝3ab， 则(eq \f(1,a)＋eq \f(1,b))2÷(eq \f(1,a2)－eq \f(1,b2))的值是________； －eq \r(5) (3)(2020·四川南充)若x2＋3x＝－1，则x－eq \f(1,x＋1)＝________． (4)(2022·四川成都)已知2a2－7＝2a，则代数式(a－eq \f(2a－1,a)) ÷eq \f(a－1,a2)的值为________．