1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题第3课时课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

用空间向量研究距离、夹角问题 环节三 综合应用 复习回顾 问题1:空间距离的向量法解法分别有哪几类？ 2 复习回顾 问题2:空间的向夹角量法解法分别有哪几类？ 3 实践应用 例4、如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°，已知礼物的质量为1kg,每根绳子的拉力大小相同，求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小(重力加速度g取9.8m/s2,精确到0.01N) 追问1：下降过程中，8根绳子拉力的合理大小与礼物重力大小有什么关系？ 答案：因为降落伞匀速下落，所以降落伞8根绳子拉力的合力的大小大女儿关于礼物重力的大小. 4 实践应用 追问2：如何用向量方法解决这个问题？ 答案：8根绳子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量与礼物的重力是一对相反向量. 例4、如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°，已知礼物的质量为1kg,每根绳子的拉力大小相同，求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小(重力加速度g取9.8m/s2,精确到0.01N) 5 实践应用 解：如图，设水平面的单位法向量为n,其中每根绳子的拉力均为F,因为<n,F>=30°,所以F在n上的投影向量为 |F|n.所以8根绳子拉力的合力 又因为降落伞匀速下落，所以|F合|=|G礼物|=1×9.8=9.8(N) 所以 例4、如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°，已知礼物的质量为1kg,每根绳子的拉力大小相同，求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小(重力加速度g取9.8m/s2,精确到0.01N) 6 实践应用 例5、如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交点F. (1)求证:PA//平面EDB (2)求证:PB⊥平面EFD (3)求平面CPB与平面PBD的夹角的大小 问题1：本题主要涉及了立体几何中的几类问题？ 答案：本题设计的问题包括：直线与平面平行和垂直的判定，计算两个平面的夹角. 7 实践应用 例5、如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交点F. (1)求证:PA//平面EDB (2)求证:PB⊥平面EFD (3)求平面CPB与平面PBD的夹角的大小 问题2：仔细阅读题目条件，你能得到什么启示？用什么样的方法解决本题？ 答案：由于四棱锥的底面时正方形，而且一条侧棱垂直于底面，可以利用这些条件建立适当的空间直角坐标系，用向量及坐标表示问题中的几何元素，进而解决问题. 8 实践应用 解：以D为原点，DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设DC=1. (1)求证:PA//平面EDB 实践应用 (2)求证:PB⊥平面EFD 实践应用 (3)求平面CPB与平面PBD的夹角的大小 单元小结 问题3：向量方法在解决立体几何问题时的基本步骤是什么？ 答案：用向量法解决立体几何问题的“三步曲”. 1、化为向量问题：用空间向量表示立体图形中点、直线、平面等元素; 2、进行空间向量运算：进行空间向量的元素，研究点、直线、平面之间的关系; 3、回到图形问题：把运算结果“翻译”成相应的几何意义. 单元小结 追问：还有其他方法吗？它们的各自特点是什么？ 答案：综合法、向量法、坐标法.综合法通过纯粹的逻辑推理解决问题，要求更高的逻辑性；向量法利用向量的概念及其运算解决问题； 坐标法利用数及其运算来解决问题实现了几何问题的代数化，降低了对逻辑思维的要求.对于具体问题，应根据它的条件和所求选择合适的方法. 问题3：向量方法在解决立体几何问题时的基本步骤是什么？ 再 见 答案： 点到直线的距离 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点， P是直线l外一点，设向量＝a在直线l上的投影向量为＝a·u， 则点P到直线l的距离为． 点到平面的距离 点P到平面的距离， 其中点A为平面α内的任意一点，n为平面的法向量. 两平行线间的距离可转化为点到直线的距离； 线面距离和平行平面间的距离均可转化为点到面的距离求解. 答案： 两条异面直线所成的角：若异面直线l1,l2所成的角为，其方向向量分别为u,v, 则 直线与平面所成的角：直线AB与平面所成的角为，直线AB的方向向量u与平面的法向量n， 则. 两个平面的夹角：平面与平面的夹角为，平面与平面的法向量为n1,n2 则 （1）证明：连接AC，交BD于点G，连接EG. 依题意得 而平面EDB，且面EDB，所以PA//面EDB . （2） 依题意得B（1，1，0），=(1,1