2.3.3点到直线的距离公式课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

直线的交点坐标与距离公式 环节三 点到直线的距离公式 探究新知 问题1 如图，已知点，直线，如何求点到直线的距离 P Q x y O l 答案: 过点作直线的垂线，记垂足为，则垂线段的长度就是点到直线的距离. 2 探究新知 追问1 答案: 如何求出的距离？ 利用两点间距离公式，需要先求出、点的坐标. 其中，点坐标已知，因此只需要求出点的坐标. P Q x y O l 3 探究新知 追问2 答案: 如何求出点的坐标？ 是直线与垂线的交点， 所以联立两条直线方程求交点坐标. P Q x y O l 4 探究新知 追问3 答案: 如何求垂线的方程？ 已知一点，再求出直线的斜率， 即可写出直线的点斜式方程. P Q x y O l 5 探究新知 追问4 答案: 如何求垂线的斜率？ 直线与直线垂直，直线的斜率为， 可得垂线的斜率. P Q x y O l 6 探究新知 由此，求得垂线的方程为，整理得. 解方程组： 将得. 整理得. 同理可得. 则 P Q x y O l 7 探究新知 利用两点间距离公式 由此，求得点P到直线l的距离 P Q x y O l 8 探究新知 追问5 答案: 如图，如果直线平行于x轴，点到直线的距离还满足上式吗？ 到直线的距离 由A=0，d也表示为 P Q x y O l 9 探究新知 追问6 答案: 如果直线垂直于x轴，点到直线的距离还满足上式吗？ 到直线的距离 由B=0，d也表示为 P Q x y O l 10 探究新知 一般地， 点到直线的距离： P Q x y O l P Q x y O l P Q x y O l 11 探究新知 问题2 上述推导过程思路自然，但运算较繁，反思求解过程， 你能发现引起复杂运算的原因吗? 答案: 原因在于，求出的点Q坐标比较复杂，再代入两点间距离公式造成了运算的复杂. P Q x y O l 12 探究新知 追问1 答案: 能否不求出点Q的坐标，推得点到直线的距离公式？ 设Q(x，y) ，观察两点间距离公式的结构 能否从方程组中直接写出，的表达式？ 由 得 将(3)、(4)两边分别平方后相加可得 所以 从而 13 探究新知 追问2 答案: 与第一种方法相比，第二种方法的计算量大大降低. 能否概述简化运算的过程吗? 第二种方法的推导过程，实际上是从所求表达式的结构入手，虽然设出点Q的坐标，但是并不求出点Q的坐标，通过整体代换简化了运算. “设而不求”和“整体代换”也是运算中十分常用的方法. 14 探究新知 问题3 答案: 向量是解决空间距离、角度问题的有力工具，能否用向量方法求点到直线 的距离呢? 如图，点到直线的距离|PQ|是点与直线上所有点的距离中最短的. P Q x y O l M(x,y) 15 探究新知 追问1 答案: 点与直线上任一点所成向量与向量有何关系呢？ 设是直线上任意一点， 是在直线方向上的投影. ， 其中是与直线的方向向量垂直的单位向量. P Q x y O l M(x,y) 16 探究新知 追问2 答案: 如何用坐标表示向量？ 因为直线的斜率为 ，它的一个方向向量为 ， 由向量的数量积运算可求得与直线垂直的一个方向向量为 由此，与直线l垂直的单位向量 17 探究新知 因为 ，其中 所以 （5） 因为M(x，y)在直线l上，则Ax+By=C. 代入（5）式整理得 . 18 探究新知 问题4 答案: 比较上述推导点到直线距离公式的“坐标法”和“向量法”两种方法，它们各有什么特点? “坐标法”是通过寻找所求量的坐标表示，再经过一系列运算最终得到点到直线距离公式. 坐标法运算量较大，所以我们还要寻求简化运算的方法. 这里我们用到了设而不求，整体代换的手段. “向量法”抓住了点到直线距离是点与直线上点的最短长度这一几何特征，借助投影向量、直线方向向量的概念，将向量用坐标表示，再运算求解.这种方法体现了解析几何形与数、数与形的转化，技巧性强，但是大大降低了运算量. 19 探究新知 问题5 答案: 点到直线距离公式有什么结构特征？ 公式的分子：保留直线方程一般式的结构，只是把P的坐标代入到了直线方程中，体现了公式与直线方程关系. 特别地，如果P在直线上，点到直线的距离为0，此时，式子中的分子为0，整个式子也等于0. 运算结果与实际相符. 这么一来，这个公式可以表示平面内任一点到任一直线的距离. 20 知识应用 例1 解： 求点到直线的距离. 点到直线的距离. 21 知识应用 例2 解： 如图，已知的三个顶点分别是求的面积. 如图，设边上的高为，则. 边AB所在直线l的方程为 ，即． 故点到直线的距离