5.2.2同角三角函数的基本关系讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

同角三角函数的基本关系 【答案】 类型一 弦切互化求值 例1 已知，求下列各式的值： （1）． （2）． 解 （1）因为，所以原式． （2）原式 ． 类型二 利用与之间的关系求值 例2 已知，且，求下列各式的值： （1） （2）． （3）． 解（1）将两边平方，得，则． （2）． （3）因为， 所以， 因为，所以． 故． 类型三 三角函数式的化简 例3 （1）求值: ． （2）化简： 解 （1）原式 = （2）原式 所以当时，原式； 当时，原式． 当堂练习 一、单选题 1．已知，且是第二象限角，则的值为（ ）． （A） （B） （C） （D） 【答案】A． 【解析】 2．当，时，的值为（ ）． （A） （B） （C） （D） 【答案】B． 【解析】，且 3．化简的结果是（ ）． （A） （B） （C） （D） 【答案】A． 【解析】将代入原式 4．化简的结果是（ ）． （A） （B） （C） （D） 【答案】D． 【解析】 5．已知，则的值为（ ）． （A） （B）3 （C） （D） 【答案】C． 【解析】化为 二、多选题 6.已知α为锐角，且 则下列选项中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 因为，所以，而α为锐角， 所以，故A错误； 由，两边平方可得，故C正确； 因为α为锐角， 所以，故D正确； 由，故B错误. 故选：CD 7.已知，则在直角坐标系中角的终边可能在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】BD 由， 得. 故，所以角可能在第二或第四象限. 故选：BD. 三、填空题 8．已知，，则 ． 【答案】． 【解析】将已知等式两边平方，得，故，再由，可求得 9．已知，则的值为 ． 【答案】4． 【解析】 10．若，则的值为 ． 【答案】6或． 【解析】对角所在的象限进行讨论 四、解答题 11．若，且，求，的值（用含的代数式表示）． 【解析】当为第一象限角时，，．当为第二象限角时， ， 12．已知．求下列各式的值： （1）； （2）． 【解析】（1），，， （2） 课后作业 1．已知是三角形的一个内角，且，则这个三角形是（ ）． （A）正三角形 （B）直角三角形 （C）锐角三角形 （D）钝角三角形 【答案】D． 【解析】，故 2．若，则（ ）． （A） （B）2 （C） （D） 【答案】B． 【解析】解法1 由，解所以 解法2 因为，所以，则，解得 解法3 设，则，代入题设，得，又，所以 解法4 注意到本题中的勾股数，因此可以用代入条件式验证，注意到，因此有，所以 3．已知，则 ． 【答案】． 【解析】将已知等式左边的分子、分母同除以，转化为解得 4．已知，则 ． 【答案】或． 【解析】由题中等式易知，则 整理得解得或 5．已知，，则 ． 【答案】． 【解析】，得 ． ，且，则 6．若是第二象限角，且，，则 ． 【答案】． 【解析】因为，所以，或．因为是第二象限角，所以．所以，， 7．若角的终边落在直线上，则 ． 【答案】0 8．已知，且，求的值． 【解析】由，且，知是第三象限角，所以， 原式 9．已知，求证：． 【解析】由，可得，即，故由，整理得， 即， 展开得，即 10．已知． （1）若的两个实数根分别为三角形两内角的正弦值，求实数的取值范围． （2）是否存在实数，使得方程的两个实数根是直角三角形两个锐角的正弦值？ 【解析】（1）设，为的两个实数根．依题意有，．于是函数与轴的两个交点均在区间内，即所以 （2）设方程的一个实数根为，则另一个实数根为，于是 因为，所以． 由，得，且，故不存在适合条件的实数． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 同角三角函数的基本关系 典型例题 类型一 弦切互化求值 例1 已知，求下列各式的值： （1）． （2）． 类型二 利用与之间的关系求值 例2 已知，且，求下列各式的值： （1） （2）． （3）． 类型三 三角函数式的化简 例3 （1）求值: ． （2）化简： 当堂练习 一、单选题 1．已知，且是第二象限角，则的值为（ ）． （A） （B） （C） （D） 2．当，时，的值为（ ）． （A） （B） （C） （D） 3．化简的结果是（ ）． （A） （B） （C） （D） 4．化简的结果是（ ）． （A） （B） （C） （D） 5．已知，则的值为（ ）． （A） （B）3 （C） （D） 二、多选题 6.已知α为锐角，且 则下列选项中正确的有（    ） A． B． C． D． 7.已知