6.1 平面向量的概念（讲义，3考点+5题型）-2023-2024学年高一数学同步讲义与对点练（人教A版2019必修第二册）

6.1 平面向量的概念 知识点一 向量、数量的概念 向量 在数学中，我们把既有大小又有方向的量叫做向量 数量 在数学中，我们把只有大小没有方向的量叫做数量 微点拨： 1、向量的二要素：向量由大小与方向两个要素组成．向量的大小是代数特征，方向是几何特征． 2、向量既有大小又有方向，因为方向不能比较大小，所以向量不能比较大小．. 3、数量是一个代数量，只有大小没有方向，其大小可以用正数、负数、零来表示，可以比较大小，如长度、质量、面积、体积等． 知识点二 向量的几何表示 有向线段 具有方向的线段叫做有向线段， 它包含三个要素：起点、方向、长度． 向量的表示方法 几何表示 向量可以用有向线段来表示，我们把这个向量记作.有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向. 字母表示 向量也可以用字母表示 向量的长度 定义 向量的大小称为向量的长度（或称模） 表示 向量，的长度分别记作 微点拨：向量与有向线段的区别与联系 ①向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相等向量. ②有向线段是表示向量的图形工具，它不是向量，它有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段． ③用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点，必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向（即夹角）或长度（即模），选择合适的比例关系作出向量. 知识点三 向量的相关概念 零向量 长度为0的向量叫做零向量.记作，它的方向是任意的． 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 平行向量 （共线向量） 方向相同或相反的非零向量． 向量a与b平行，记作a∥b． 规定：零向量与任意向量平行 相等向量 长度相等且方向相同的向量． 向量a与b相等，记作a＝b 微点拨： 1、单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同． 2、在平面内，将所有单位向量的起点平移到同一点，则它们的终点构成一个半径为1的圆． 3、与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量． 4、共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量． 向量中的“平行”与“共线”是一个概念，而几何中的“平行”与“共线”不是一个概念．由于向量可以平移，因此无论两个向量所在的直线是平行还是共线，我们都说这两个向量共线，而几何中则不同． 5、任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关． 6、两条方向相同且长度相等的有向线段表示同一个向量． 7、相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量．共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同. 8、向量相等具有传递性，即若a＝b，b＝c，则a＝c.而向量的平行不具有传递性，若a∥b，b∥c，未必有a∥c.因为零向量平行于任意向量，那么当b＝0时，a，c可以是任意向量，所以a与c不一定平行．但若b≠0，则必有a∥b，b∥c⇒a∥c.因此，解答问题时要看清题目中是任意向量还是任意非零向量． 考点一 向量的有关概念 提分笔记 对于向量的相关概念问题，关键是把握好概念的内涵与外延，对于一些似是而非的概念一定要分辨清楚，如有向线段与向量，有向线段是向量的表示形式，并不等同于向量；还有如单位向量，单位向量只是从模的角度定义的，与方向无关．零向量的模为零，方向则是任意的． 题型一 向量的概念辨析 1．（2023上·黑龙江·高二统考学业考试）下列量中是向量的为（    ） A．频率 B．拉力 C．体积 D．距离 2．（2022·全国·高一专题练习）给出下列物理量：①密度；②温度；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.正确的是(    ) A．①②③是数量，④⑤⑥是向量 B．②④⑥是数量，①③⑤是向量 C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量 题型二 向量的模 1．（2022下·山东菏泽·高一统考期中）数轴上点A，B分别对应，则向量的长度是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2022·高一课时练习）如图，已知是单位向量，求出图中向量，，，的模. 3．（2023下·安徽合肥·高一合肥一中校考阶段练习）在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则等于（    ） A．1 B． C． D．2 题型三 零向量与单位向量 1．（2022下·高一校考课时练习）下列说法正确的是（    ） A．零向量没有大小，没有方向 B．零向量是唯一没有方向的向量 C．零向量的长度为0 D．任意两个单位向量方向相同 2．（2021下·高一课时练习）若为单位向量，，则可用表示 . 3．（2