第二章二次函数专题2022-2023学年广东省佛山市石门实验学校北师大版九年级数学下册

二次函数专题 知识要点： 1．二次函数的有关概念：二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c (a≠0，a，b，c为常数)的函数为二次函数． 2．二次函数表达式的求法： （1）若已知抛物线上三点坐标，可利用待定系数法求得y=ax2+bx+c； （2）若已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程，则可采用顶点式：y=a(x–h)2+k其中顶点为(h，k)，对称轴为直线x = h； （3）若已知抛物线与x轴的交点坐标或交点的横坐标，则可采用交点式：y=a(x–x1)(x–x2)，其中与x轴的交点坐标为(x1，0)，(x2，0)． 3．二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条抛物线，抛物线的特征与a、b、c的关系： （1）a决定开口方向 （2）a与b决定对称轴位置 （3）c决定抛物线与y轴交点位置 4．图象的平移：将二次函数y=ax2(a≠0)的图象进行平移，可得到y=ax2+c，y=a(x–h)2，y=a(x–h)2+k的图象． 5．（1）将y=ax2的图象向上(c＞0)或向下(c<0)平移|c|个单位，即可得到y=ax2+c的图象．其顶点是(0，c)形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax2相同． （2）将y=ax2的图象向左(h<0)或向右(h＞0)平移|h|个单位，即可得到y=a(x–h)2的图象．其顶点是(h，0)，对称轴是直线x=h，形状、开口方向与抛物线y=ax2相同． （3）将y=ax2的图象向左(h<0)或向右(h＞0)平移|h|个单位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位，即可得到y= 的图象，其顶点是(h，k)，对称轴是直线x=h，形状、开口方向与抛物线y=ax2相同． 6．二次函数y=ax2+bx+c的增减性： （1）当a＞0时，抛物线开口向上，图象有最低点，且x＞，y随x的增大而增大，x＜，y随x的增大而减小； （2）当a＜0时，抛物线开口向下，图象有最高点，且x＞，y随x的增大而减小，x＜，y随x的增大而增大． 7．二次函数的图象和x轴交点坐标与一元二次方程的根的关系． 判别式 一元二次方程ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 二次函数y=ax2+bx+c 图象与x轴有两个交点 图象与x轴有一个交点 图象与x轴没有交点 考点训练： 考点1：二次函数的基本概念． 例1．(课本题目改编)下列函数中(x、t是自变量)哪些是二次函数？ （1），（2），（3），（4） 考点2：二次函数的表达式． 例2．(课本题目改编)某超市欲购进一种今年新上市的产品，购进价为20元/件，为了调查这种新产品的销路，该超市进行了试销售，得知该产品每天的销售量t (件)与每件的销售价x (元/件)之间有如下关系：．写出该超市销售这种产品每天的销售利润y (元)与x之间的关系式． 考点3：二次函数的性质． 例3．(课本题目改编)将二次函数的图象向上平移2个单位，再向左平移3个单位，便得到二次函数的图象，求b、c的值，并指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出图象． 考点4：二次函数的综合应用． 例4．(课本题目改编)如图所示，矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，AH为BC边上的高，AH交DG于点P，已知AH=3，BC=5； （1）设DG的长为x，矩形DEFG面积为y，求y关于x的函数解析式及其自变量取值范围； ( A B E H F C G P D 例题 4 图 )（2）根据（1）中所得y关于x的函数图象，求当矩形DEFG面积最大时，DG的长为多少？矩形DEFG面积是多少？ 例5．(2011·佛山改编)小商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场调查，销售单价是13.5元时平均每天销售量是500件，而销售价每降低1元，平均每天就可以多售出100件． （1）假定每件商品降价x元，商店每天销售这种小商品的利润是y元，请写出y与x间的函数关系式，并注明x的取值范围． （2）每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？(注：销售利润=销售收入－购进成本) 阶梯训练 一、基础训练 1．抛物线y= –2x2+1的对称轴是( ) A．直线x= B．直线x= C．y轴 D．直线x=2 2．二次函数的最小值是___________． 3．将二次函数y=x2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为( ) A．y=x2–1 B．y=x2+1 C．y=(x–1)2 D．y=(x+1)2 4．已知二次函数y=x2–4x+5的顶点坐标为( ) A．(