1.4 解直角三角形 专题复习　2022—2023学年北师大版数学九年级下册

解直角三角形专题 考点梳理 ( a b c A C B ) 1．锐角三角函数：锐角∠A的正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角∠A的三角函数． 2．在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则： （1）正弦：sinA==或 （2）余弦：cosA==或 （3）正切：tanA==或 3．0＜sin A＜1；0＜cos A＜1(∠A是锐角)，锐角三角函数值只与角的大小有关，与边的长短无关． 三角函数 30° 45° 60° sinα cosα tanα 4．特殊角的三角函数值： 5．锐角三角函数的关系：几个重要公式： （1）sin 2 A + cos 2 A = 1； （2），； （3）．（4）tanA·tanB=1 6．三角函数的增减性：对于锐角三角函数而言，正弦值和正切值随角度的增大而增大，余弦值随角度的增大而减小． 7．解直角三角形的基本类型及解法：在Rt△ABC中，∠C = 90°． 类型 已知条件 图形 解法 两边 两直角边a、b ( A B C a b c ) （1）；（2）由求出∠A； （3）∠B = 90°– ∠A 一直角边a，斜边c （1）；（2）由求出∠A； （3）∠B = 90°–∠A 一边一锐角 一直角边a，锐角A （1）∠B = 90°–∠A；（2） 斜边c，锐角A （1）∠B = 90°–∠A；（2）a=c×sinA； ( A B C D α β )8．解直角三角形的基本图形： 如图，若∠CAB=90°，∠C=∠α，∠BDA=∠β，CD=m，求AB． 解：设AB=x，在Rt△BAD中，． ( 水平线 铅垂线 视线 视线 仰角 俯角 i = h ︰ l α l h )在Rt△ABC中， ∵ CA = CD + DA，∴通过解方程求出知数x的值． 9．解直角三角形几个常用名称： （1）如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角． （2）在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度．如图，坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比)．记作i，即i =．坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i==tan α显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡． （3）方位角：指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90°的角为方向角． 课堂精讲 考点1：三角形函数的基本性质． 例1．观察下列等式： ①．；②．；③．… 根据上述规律，计算________________． 考点2：解直角三角形(坡角与坡度)． 例2．如图，一段河坝的横截面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坝底宽AD．(i=CE︰ED，单位：m) ( A E D 5 4.5 α 4 B C i =1 ︰ 例题 2 图 ) 考点3：解直角三角形(构造直角三角形)． ( 例题 3 图 A B C P 北 古民居 30° 6 0° )例3．某市正在进行商业街改造，商业街起点在古民居P的南偏西60°方向上的A处，现已改造至古民居P南偏西30°方向上的B处，A与B相距150 m，且B在A的正东方向．为不破坏古民居的风貌，按照有关规定，在古民居周围100 m以内不得修建现代化商业街．若工程队继续向正东方向修建200 m商业街到C处，则对于从B到C的商业街改造是否违反有关规定？ 考点4：测量物体的高度． 例4．如图，飞机沿水平方向(A，B两点所在直线)飞行，前方有一座高山，为了避免飞机飞行过低，就必须测量山顶M到飞行路线AB的距离MN．飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离(因安全因素，飞机不能飞到山顶的正上方N处才测飞行距离)，请设计一个求距离MN的方案，要求： ( 例题 4 图 A B N M )（1）指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)； （2）用测出的数据写出求距离MN的步骤． 阶梯训练 一、基础训练 1．sin60°的相反数是( ) A． B． C． D． 2．tan60°等于( ) ( 第 4 题图 A B C )A． B． C． D． 3．若∠α=60°，则∠α的余角为_______，cosα的值为_______． 4．如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为( ) A． B． C． D． 5．兴义市进行城区规划，工程师需