专题16.2 二次根式的应用（压轴题专项讲练）-2023-2024学年八年级数学下册压轴题专项讲练系列（沪科版）

专题16.2 二次根式的应用 · 思维方法 正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。 逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。 规律题的一般解题方法步骤： （1）通过对几个特例的分析，寻找规律并且归纳（初中阶段往往举例3个） （2）猜想符合规律的一般性结论； （3）验证或证明结论是否正确。 · 典例分析 【典例1】我国南宋时期数学家泰九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式． （1）当三角形的三边，，时，请你利用公式计算出三角形的面积； （2）一个三角形的三边长依次为、，，请求出三角形的面积； （3）若，，求此时三角形面积的最大值． 【思路点拨】 （1）直接利用已知得出的值，再利用三角形面积公式得出答案； （2）将变形为再代入求值即可； （3）根据公式计算出，再表示成，代入公式即可求出解． 【解题过程】 （1）解：∵，，， 则：， ∴ ； （2） ， 则三边长依次为、，，代入可得： （3）∵，，， ∴，则， ∴ ， ∴当时，有最大值，为． · 学霸必刷 1．（2023上·湖南永州·八年级统考期末）设S=，则不大于S的最大整数[S]等于(　　) A．98 B．99 C．100 D．101 2．（2023下·湖北恩施·八年级统考期末）如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则剩余部分（阴影部分）的面积等于（ ） A． B． C． D． 3．（2023上·福建漳州·八年级福建省长泰县第一中学校考期中）在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为20，两个小正方形重叠部分的面积为5，空白部分的面积总和为，则较小的正方形面积为 ．    4．（2023下·浙江·八年级期中）读取表格中的信息，解决下列问题 … … … … 已知，求 ． 5．（2022上·广东深圳·九年级深圳中学校考自主招生）若不是整数，令为最接近x的整数，如，．则 ． 6．（2023上·上海徐汇·八年级校联考期末）满足等式的正整数对的个数有 个 7．（2022上·全国·八年级期中）按照一定次序排列的一列数叫数列，一般用、、表示一个数列，可简记为，现有数列满足一个关系式，则 ． 8．（2023上·河南南阳·九年级统考期中）有一块矩形木板，木工采用如图沿虚线在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． （1）求原矩形木板的面积； （2）如果木工想从剩余的木块（阴影部分）中裁出长为，宽为的长方形木条，估计最多能裁出多少块这样的木条，请你直接写出答案． 9．（2023下·河北邢台·八年级校考阶段练习）现有两块同样大小的长方形木板①、②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出两个面积分别为和的正方形木板A，B．    （1）截出的正方形木板A的边长为________ ； （2）求图1中阴影部分的面积； （3）乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出面积为的两个正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 10．（2022下·甘肃定西·八年级统考期中）先阅读，后解答： ，；像上述解题过程中，与、与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化． （1）的有理化因式是______；的有理化因式是______． （2）将下列式子进行分母有理化： ①______；        ②______． （3）类比（2）中②的计算结果，计算：． 11．（2022·八年级单元测试）定义，求+…++…+的值. 12．（2023上·福建漳州·八年级校联考期中）观察下列等式及其验证过程： ，验证： ，验证： （1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想______． （2）针对上述等式反映的规律，写出用（为大于的整数）表示的等式并给予验证． 13．（2022上·四川资阳·九年级校考阶段练习）在日常生活中，有时并不要求某个量的准确值，而只需求出它的整数部分．如今天是星期一，还有55天中考，问中考前还有多少个星期一、容易知，但答案并不是将小数部分四舍五入得到8，而是的整数部分7，所以有7个星期一、为了解决某些实际问题，我们定义一种运算