微专题5-3 空间中的距离问题-【高频考点解密】2024年高考数学二轮复习高频考点追踪与预测（上海专用）

微专题5-3 空间中的距离问题 题型一：向量法求空间距离 题型二：等体积法求点面距离 题型一：向量法求空间距离 1．（2023上·上海·高二上海市育才中学校考期中）如图，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱垂直于底面，是延长线上一点，且． (1)求二面角的大小； (2)直线到平面的距离； (3)在线段上是否存在一点使得．若存在，求出点位置；若不存在，则说明理由． 2．（2024上·上海·高二曹杨二中校考期末）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，且，，M是棱SB的中点. (1)求异面直线AM与SD所成角的余弦值； (2)求点A到平面的距离； (3)设N是棱（含端点）上的动点，求直线与平面所成角的大小的取值范围. 3．（2024上·上海徐汇·高二统考期末）如图，在多面体中，四边形为正方形，平面.    (1)求证： (2)在线段上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为？若存在，求出点到平面的距离，若不存在，请说明理由. 4．（2024·全国·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点，直线与所成角的余弦值为．求： (1)点到直线的距离； (2)二面角的余弦值． 5．（2023上·上海·高二期末）如图所示，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且和的夹角都是，是的中点，设，，，试以，，为基向量表示出向量，并求的长． 6．（2023上·上海·高二上海市向明中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，，为棱的中点.    (1)求直线与平面所成线面角的大小（结果用反三角函数表示）； (2)求二面角的余弦值； (3)探究在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 7．（2023上·上海·高二上海市延安中学校考期末）如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点. (1)求平面与平面所成锐二面角的余弦值； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上，是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由. 8．（2023上·上海崇明·高二校考期末）在棱长为1的正方体中，分别是棱的中点． (1)求二面角的大小； (2)求点到平面的距离； (3)若点G是棱上一点，当G在何处时，平面？ 9．（2023·四川南充·统考一模）如图，在四棱锥中，平面，，，． (1)求证：平面； (2)若，且直线与所成角为，求点E到平面的距离． 10．（2023·上海嘉定·统考一模）四棱柱中，平面，为梯形，，. (1)求证：平面 (2)为平面上一动点，是否存在使得与平面的夹角为，若存在，求出到平面的最小值，若不存在，说明理由. 11．（2023上·上海浦东新·高三统考期末）如图，在四棱锥中，底面，，，，，，点为中点． (1)求证：直线平面； (2)求点到平面的距离． 12．（2022·上海闵行·统考二模）如图，四棱锥的底面为菱形，平面ABCD，，E为棱BC的中点．    (1)求证：平面PAD； (2)若，求点D到平面PBC的距离． 题型二：等体积法求点面距离 1．（2023上·上海浦东新·高二上海市洋泾中学校考期中）如图，在长方体中，，，．    (1)求异面直线与所成的角； (2)求点到平面的距离． 2．（2023上·上海虹口·高二校考期中）如图，已知点P在圆柱的底面圆O的圆周上，，圆O的直径，圆柱的高． (1)求圆柱的体积； (2)求点A到平面的距离． 3．（2023上·上海杨浦·高二上海市杨浦高级中学校考期中）如图,为菱形外一点,平面,,为棱的中点. (1)求证:平面; (2)若,求到平面的距离. 4．（2023上·上海·高二上海市洋泾中学校考阶段练习）已知正方体的棱长为，求点到平面的距离.    5．（2023上·上海·高二专题练习）已知三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AB＝3，AC＝4，M为BC中点，过点M分别作平行于平面PAB的直线交AC、PC于点E，F． (1)求直线PM与平面ABC所成角的大小； (2)求直线ME到平面PAB的距离． 6．（2024·全国·模拟预测）已知四棱锥如图所示，平面平面，四边形为菱形，为等边三角形，直线与平面所成角的正切值为1．    (1)求证：； (2)若点是线段AD上靠近的四等分点，，求点到平面的距离． 7．（2024·全国·模拟预测）如图，在多面体中，四边形和四边形是全等的直角梯形，且这两个梯形所在的平面相互垂直，其中，.      (1)证明：平面； (2)若，求点F到平面的距离. 8．（2024·全国·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面平面，，，分别为棱的中点． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离． 9．（2024·全国·模拟预测）如图1，已知直角梯形中，，，，M为CF的中点，将沿D