专题6.4 平面向量的基本定理及坐标运算（7类必考点）-2023-2024学年高一数学必考点分类集训系列（人教A版2019必修第二册）

专题6.4 平面向量的基本定理及坐标运算 【考点1：平面向量的基本定理】 1 【考点2：向量线性运算的坐标表示】 2 【考点3：向量模的坐标表示】 4 【考点4：向量数量积运算的坐标表示】 5 【考点5：向量平行的坐标表示】 6 【考点6：向量垂直的坐标表示】 8 【考点7：向量夹角的坐标表示】 9 【考点1：平面向量的基本定理】 【知识点：平面向量的基本定理】 如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使＝λ1＋λ2. 其中，不共线的向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． [方法技巧] 平面向量基本定理的实质及解题思路 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． (2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．　　 1．（2024上·北京昌平·高一统考期末）在中，点D，E满足，.若，则 . 2．（2024上·辽宁大连·高一统考期末）在平行四边形中，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024上·云南大理·高二统考期末）已知在中，点在边上，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024上·甘肃·高三统考阶段练习）已知平行四边形，若点是边的中点，，直线与相交于点，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024上·湖南常德·高三常德市一中校考阶段练习）直角梯形中，角为直角，，，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 6．（2024上·浙江宁波·高一镇海中学校考期末）在中，点为边上的中点，点满足，点是直线，的交点，过点做一条直线交线段于点，交线段于点（其中点，均不与端点重合）设，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【考点2：向量线性运算的坐标表示】 【知识点：向量线性运算的坐标表示】 (1)向量加法、减法、数乘的坐标运算及向量的模 设＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则： ＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，－＝(x1－x2，y1－y2)，λ＝(λx1，λy1)，||＝. (2)向量坐标的求法 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．一般地，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)． [方法技巧] 平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标． (2)解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．　　 1．（2024·陕西西安·高一阶段练习）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024上·辽宁辽阳·高一统考期末）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2024上·河北保定·高三河北阜平中学校联考期末）已知向量，，，若正实数，满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（2023上·江苏南通·高二统考阶段练习）已知一平行四边形的三个顶点坐标分别为，，，则第四个顶点坐标可以是（    ） A． B． C． D． 5．（2024上·云南大理·高二统考期末）已知向量，则 ． 6．（2024·北京海淀·高二校考阶段练习）已知点A的坐标为，点的坐标为，且，那么点的坐标为 7．（2024·全国·高一课堂例题）已知点O，A，B，C的坐标分别为，，，，是否存在常数t，使得成立？解释你所得结论的几何意义． 8．（2024·广东湛江·高一雷州市第一中学校考阶段练习）解答下列各题： (1)设向量，，求； (2)已知两点和，点P满足，求点P的坐标． 【考点3：向量模的坐标表示】 【知识点：向量模的坐标表示】 模 ||＝ ||＝ [方法技巧] 求向量模的常用方法 (1)若向量是以坐标形式出现的，求向量的模可直接利用公式||＝. (2)若向量，是以非坐标形式出现的，求向量的模可应用公式||2＝2＝·，或|±|2＝(±)2＝2±2·＋2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．　　 1．（2023春·河南洛阳·高三新安县第一高级中学校考开学考试）已知向量．若，则实数（    ） A．2 B．-2 C． D． 2．（2022春·河南安阳·高一安阳县第一高级中学校考阶段练习）若为坐标原点， ，，，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 3．（2022春·江苏南京·高一统考期末）在平面直角坐标系xoy中，点A(1，2)、B(2，3)、C(3，－1)，以线段AB，AC为邻边作平行四边形，两条对角线中较长的对角线长为____ 4．（2022·全国·高三专题练习）如