专题7.4 二项分布与超几何分布【八大题型】-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第三册）

专题7.4 二项分布与超几何分布【八大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 利用二项分布求分布列】 1 【题型2 服从二项分布的随机变量概率最大问题】 2 【题型3 二项分布的均值与方差】 2 【题型4 二项分布的实际应用】 3 【题型5 超几何分布的判断】 6 【题型6 超几何分布的均值】 7 【题型7 超几何分布的方差】 7 【题型8 二项分布与超几何分布的综合应用】 9 【知识点1 二项分布】 1．伯努利试验 (1)伯努利试验的概念 把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验. (2)n重伯努利试验的两个特征 ①同一个伯努利试验重复做n次； ②各次试验的结果相互独立. 2．二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的 次数，则X的分布列为P(X=k)=，k=0，1，2，，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作XB(n，p). 3．二项分布的期望与方差 一般地，如果XB(n，p)，那么E(X)=np，D(X)=np(1-p). 【题型1 利用二项分布求分布列】 【例1】（2023上·辽宁·高二校联考期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023·全国·高二专题练习）已知随机变量服从二项分布，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023·全国·高二专题练习）有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次数，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）设随机变量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【题型2 服从二项分布的随机变量概率最大问题】 【例2】（2023·全国·高三专题练习）若X～B，则使P（X＝k）最大的k的值是（    ） A．2 B．3 C．4或3 D．4 【变式2-1】（2023·全国·高二专题练习）某人在11次射击中击中目标的次数为X，若，若最大，则k＝（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式2-2】（2023·高二课时练习）已知，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023下·湖北武汉·高二校考期末）设随机变量，记，，下列说法正确的是（    ） A．当k由0增大到n时，先增后减，在某一个（或两个）k值处达到最大.二项分布当时是对称的，当时向右偏倚，当时向左偏倚 B．如果为正整数，当且仅当时，取最大值 C．如果为非整数，当且仅当k取的整数部分时，取最大值 D． 【题型3 二项分布的均值与方差】 【例3】（2023下·辽宁鞍山·高二校联考期中）在3重伯努利试验中，事件A在每次试验中发生的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A发生的次数X的期望和方差分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式3-1】（2023下·江西抚州·高二校考阶段练习）设随机变量，则下列说法不正确的有（    ） A． B． C．的数学期望 D．的方差 【变式3-2】（2023下·江苏徐州·高二统考期中）两组各有3人独立的破译某密码，组每个人成功破译出该密码的概率为，组每个人成功破译出该密码的概率为，记两组中成功破译出该密码的人数分别为，若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2023下·辽宁·高二东北育才学校校联考期末）已知某疾病的某种疗法治愈率为80%.若有100位该病患者采取了这种疗法，且每位患者治愈与否相互独立，设其中被治愈的人数为X，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D．存在，使得成立 【题型4 二项分布的实际应用】 【例4】（2023上·河南·高三校联考开学考试）小明参加一项答题活动，需进行两轮答题，每轮均有道题．第一轮每道题都要作答；第二轮按次序作答，每答对一题继续答下一题，一旦答错或题目答完则结束答题．第一轮每道题答对得5分，否则得0分；第二轮每道题答对得20分，否则得0分．无论之前答题情况如何，小明第一轮每题答对的概率均为，第二轮每题答对的概率均为．设小明第一轮答题的总得分为，第二轮答题的总得分为． (1)若，求； (2)证明：当时，． 【变式4-1】（2023·全国·高三专题练习）2022年冬奥会在北京举行，冬奥会吉祥物“冰墩墩”自亮相以来就好评不断，出现了“一墩难求”的现象.主办方现委托某公司推出一款以“冰墩墩”为原型的纪念品在专卖店进行售卖.已知这款纪念品的生产成本为80元/件，为了确定其销售价格，调查了对这款纪念品有购买意向的消费者（以下把对该纪念品有购买意向的消费者简称为消费者）的心理价位，并将收集的100名消费者的心