6.3.5 平面向量数量积的坐标表示（6大题型）-2023-2024学年高一数学同步题型分类归纳讲与练（人教A版2019必修第二册）

6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 1、掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算； 2、能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题。 一、平面向量数量积的坐标表示 若，，则 两个向量的数量积：等于它们对应坐标乘积的和。 二、两个向量垂直的坐标表示 若两个向量垂直，则 三、用坐标表示的三个重要公式 1、向量的模公式：若，则 2、两点间的距离公式：若，，则 3、向量的交角公式：设两个非零向量，，与的夹角为， 则 题型一 平面向量数量积的坐标计算 【例1】（2023·新疆喀什·高一校考期末）已知，，，分别求下列各式的值： （1）； （2）； （3）． 【变式1-1】（2023·北京平谷·高一统考期末）已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（ ） A．11 B．7 C．3 D． 【变式1-2】（2023·河北沧州·高一校联考阶段练习）如图所示的图形中，每一个小正方形的边长均为1，则（ ） A． B． C．0 D．4 【变式1-3】（2023·江西宜春·高一校联考阶段练习）已知边长为2的菱形中，，点E是BC上一点，满足，则（ ） A． B． C． D． 【变式1-4】（2023·甘肃武威·高一天祝藏族自治县第一中学校考阶段练习）在中，，且，是的中点，是线段的中点，则的值为（ ） A．0 B． C． D．2 题型二 利用坐标研究向量垂直问题 【例2】（2023·云南迪庆·高一统考期末）（多选）下列向量中，与不垂直的向量是（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023·云南保山·高一统考期中）已知向量，则“”是“”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-2】（2023·陕西咸阳·高一校考期中）已知向，，若向量与垂直，则实数（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023·山东青岛·高一校联考期中）已知向量，若，则（ ） A． B．1 C． D． 题型三 利用坐标研究向量的模长 【例3】（2023·安徽滁州·高一统考期末）已知平面向量，，则（ ） A．1 B．2 C． D．3 【变式3-1】（2023·四川巴中·高一统考期中）已知向量，，，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2023·湖北荆门·高三月考）已知平面向量，，满足，，且.若，则（ ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2023·河南·高一校考阶段练习）已知，，. （1）求； （2）求的模的最小值. 题型四 利用坐标研究向量的夹角 【例4】（2023·河北邢台·高一邢台市第二中学校考阶段练习）已知点，，向量，，则与的夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2023·江苏苏州·高一昆山中学校考期末）向量，且，则 ． 【变式4-2】（2023·浙江金华·高一东阳中学校联考阶段练习）已知，，则向量在方向上的投影向量的坐标为 . 【变式4-3】（2023·福建龙岩·高一校联考期中）如图，在中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，则的余弦值为 ． 题型五 利用坐标求投影向量 【例5】（2023·天津和平·高一统考期末）已知向量，则向量在方向上的投影向量的坐标为 . 【答案】 【解析】向量，则， 所以向量在方向上的投影向量为 【变式5-1】（2023·广东佛山·高一统考期中）向量在向量上的投影向量是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，， 所以，， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：B 【变式5-2】（2023·内蒙古巴彦淖尔·高一统考期末）已知向量，，且，则在方向上的投影向量的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为向量，，所以，解得， 则，则， 所以在方向上的投影向量为，故选：C 【变式5