2024届高三数学 二轮专题复习 二项展开式题型全归纳（归纳本专题共15种题型 近五年高考真题 120题模拟训练题） (解析版）

2024届高三数学二轮专题复习 二项展开式题型全归纳 一、知识回顾 二、考点分析 三、本专题常用解题技巧 四、本章题型系统归纳 五、本章考点分析 六、高考真题回顾（2019-2023年） 七、本章知识模拟训练（120题） 1、 知识回顾 知识点1、二项式展开式的特定项、特定项的系数问题 （1）二项式定理 一般地，对于任意正整数，都有：， 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式． 式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：， 其中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数， （2）二项式的展开式的特点： ①项数：共有项，比二项式的次数大1； ②二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中； ③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数．字母降幂排列，次数由到；字母升幂排列，次数从到，每一项中，，次数和均为； ④项的系数：二项式系数依次是，项的系数是与的系数（包括二项式系数）． （3）两个常用的二项展开式： ①（） ② （4）二项展开式的通项公式 二项展开式的通项： 公式特点：①它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是； ②字母的次数和组合数的上标相同； ③与的次数之和为． 注意：①二项式的二项展开式的第r+1项和的二项展开式的第r+1项是有区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换位置的． ②通项是针对在这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项是（只需把看成代入二项式定理）． 2、二项式展开式中的最值问题 （1）二项式系数的性质 ①每一行两端都是，即；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即． ②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即． ③二项式系数和令，则二项式系数的和为，变形式． ④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令， 则， 从而得到：． ⑤最大值： 如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大； 如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大． （2）系数的最大项 求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来． 知识点3、二项式展开式中系数和有关问题 常用赋值举例： （1）设， 二项式定理是一个恒等式，即对，的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取，的值． ①令，可得： ②令，可得：，即： （假设为偶数），再结合①可得： ． （2）若，则 ①常数项：令，得． ②各项系数和：令，得． ③奇数项的系数和与偶数项的系数和 （i）当为偶数时，奇数项的系数和为； 偶数项的系数和为． （可简记为：为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配） （ii）当为奇数时，奇数项的系数和为； 偶数项的系数和为． （可简记为：为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配） 若，同理可得． 注意：常见的赋值为令，或，然后通过加减运算即可得到相应的结果． 2、 考点分析 （1） 三大考点： 1、求特定项或特定项系数或二项式系数问题(抓通项) 2、二项式系数或项的系数和差问题(配凑) 3.整除或余数问题(赋值) （2） 四个问题: 1.二项展开式的原理。(排列组合) 2.二项展开式的规范性，含n+1个项是特定的、严格的结构关系式，不能调序 3. 二项展开式的通项 4. 区分二项式系数与项的系数 （3） 二项式系数的性质： 1.对称性 2.单调性：当n为偶数时，二项式系数最大为，当n为奇数时二项式系数最大为和。 3.最值性 4.定值性:（a+b）n的二项式系数和为2n。 5、等值性:有数位项的二项式系数的和=偶数位项的二项式系数的和=2n-1 注意 一定要注意是“项的系数”还是“二项式系数”。 与二项式定理有关的问题包括定理的正向应用、逆向应用，题型如证明整除性、证明一些简单的组合恒等式等，此时主要是构造二项式，合理应用展开式. 1.形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题 (1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开，如(a＋b)2·(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解. (2)观察(a＋b)n(c＋d)m是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2. (3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑. 2.形如(a＋b＋c)n的展开式问题 三项或三项以上的式子的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合，项与项结合时，要注意合理性和简捷性. 3.求解整除或余数问题的基本步骤 (1)合理变形，常用的变形方法就是拆数，往往是将底数写成两数的和，并且其中一个数是除数的倍数. (2)用二项式定理展开