7.3.2 正弦型函数的性质与图象（二）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教B版2019必修第三册）

7.3.2正弦型函数的性质与图象（二） 我们已经了解到弹簧振子中，小球拉离平衡位置后释放，小球的位移x与时间t的关系是正弦型函数 那么其中A,,有什么含义呢？如何借助正弦函数来研究正弦型函数的性质呢？ 这节课我们就一起来探讨这个问题. 1.熟练掌握函数的性质及图像的应用；（重点） 2.能正确使用五点法、图像变换法做出的图像，并熟悉其变换过程.（难点） 探究点1：的实际意义 在前述情境与问题的小球运动过程中，如果从t=0时刻开始，每隔一段时间（比如0.01s）给弹簧和小球拍一张照片，并将这些照片按时间顺序排成一列（顶端对齐），就可得到如图所示的图形.可以认为图中小球的中心在正弦型函数的图像上，并且 （1）表示小球能偏离平衡位置的最大距离，称为振幅； （2）在决定t=0时小球的位置中起关键作用，称为初相； （3）周期表示小球完成一次运动所需要的时间. （小球的位置和速度首次都得到重复时称完成了一次运动） 探究点2：正弦型函数的性质 换元法 思考1：函数的定义域、值域、周期是多少？ 【提示】 令，则可以化为. 由的定义域为，值域为，可知 函数的定义域为 ，值域为 . 由的周期为可知，对任意当它增加到且至少要增加到时，对应的函数值才重复出现 . 因为 即对任意当它增加到且至少要增加到时，的函数值才重复出现 . 所以的周期为 . 思考2：函数的对称轴、对称中心、单调区间是什么？ 【提示】 令，则可以化为. 换元法 （1）因为的对称轴为 ， 所以，解得. 所以的对称轴为. （2）同理，因为的对称中心为 ， 所以，解得. 所以的对称中心为. （3）因为的单调增区间为 . 所以， 解得. 所以的单调增区间为. 同理的单调减区间为. 【总结】 R [-A,A] 3、对称中心： 4、对称轴： 5、单调性： 整体思想 函数 (A>0,>0)的性质： 将 视作整体 时 追问：如何求函数的单调增区间？ 【提示】 . 单调性相反 令，. 解得. 所以的单调增区间为. 当 时，求函数的单调区间，先利用诱导公式将变形为，再求代入y=sinx 的相反的单调区间求x. 谨防将增减区间混淆！ 【总结】 提负号 思考3：如何作出函数在一个周期内的图象？ -3 3 y x 2x + =3 sin(2x+ ) 0 π 2π x o 0 3 0 -3 0 五点法 纵坐标不变 横坐标缩短 到原来1/2 图像向左平移 π/6个单位 横坐标不变 纵坐标伸长 到原来的3倍 x y=sinx y=sin2x y=3sin(2x+π/3) y=3sin2x y o 图像变换法 单个x的变化 先伸缩后平移 向左平移 π/3个单位 纵坐标不变 横坐标缩短到 原来的1/2倍 纵坐标伸长 到原来3倍 x o y=sinx y=sin(x+π/3) y=sin(2x+π/3) 3sin(2x+π/3) 横坐标不变 y 一步到位 图像变换法 先平移后伸缩 向左或向右 平移 个单位 纵坐标不变，横坐标 变为原来的 倍 纵坐标不变，横坐标 变为原来的 倍 向左或向右平 移 个单位 横坐标不变， 纵坐标变为原来的A倍 先平移后伸缩 先伸缩后平移 【总结】 例.已知函数的部分图象如图所示： （1）求函数的解析式； （2）函数的图象可由函数的图象经过怎样的变换得到？ 【解析】(1)由图象可知 ,所以 所以 所以 又因为过点 所以，即 所以,所以， 又因为，所以 所以 先把的图象上的所有点向左平移个单位，得到的图象. 再把的图象上的所有点纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）就得到的图象. 二、五点法作y =Asin(ωx + )的图象 三、 y =Asin(ωx + )的图像与y=sinx间的变换 先平移后伸缩 先伸缩后平移 四、数学方法：换元法和数形结合 一、正弦型函数y =Asin(ωx + )的性质 $$