1.4 角平分线第2课时（同步课件）-2023-2024学年八年级数学下册同步精品课堂（北师大版）

北师大版 数学 八年级下册 第2课时 第一章 三角形的证明 4 角平分线 学习目标 1．会证明和运用“三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等”.(重点） 2.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．(难点） 复习回顾 角平分线的性质定理： 角的平分线上的点 的距离相等. 符号语言： ∵OP 是∠AOB的平分线， ∴PD = PE PD⊥OA,PE⊥OB， B A D O P E C 角平分线的判定定理： 角的内部到角的两边的距离相等的点在 . 符号语言： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE. ∴点P 在∠AOB的平分线上. 到角的两边 角的平分线上 一、创设情境，引入新知 在一个三角形居住区内修有一个学校P，P到AB、BC、CA三边的距离都相等,请在三角形居住区内标出学校P的位置,P在何处？ A B C 做一做：（1）分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？ 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 二、自主合作，探究新知 探究：三角形的内角平分线 发现：三角形的三条角平分线相交于一点. 七彩城就梦想 二、自主合作，探究新知 （2）分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？ 发现：过交点作三角形三边的垂线段相等. 你能证明这个结论吗？ 二、自主合作，探究新知 分析：要证明三角形的三条角平分线相交于一点，只要证明其中两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上即可.思路可表示如下： 试试看，你会写出证明过程吗？ AP是∠BAC的平分线 BP是∠ABC的平分线 PI=PH PG=PI PH=PG 点P在∠BCA的平分线上 A B C P F H D E I G 二、自主合作，探究新知 已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P， 求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等. 证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F. ∵BM是△ABC的角平分线， 点P在BM上， ∴PD=PE.同理PE=PF. ∴PD=PE=PF. 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等. A B C P N M D E F 二、自主合作，探究新知 知识要点 结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等. D E F A B C P N M 应用格式： ∵点P是△ABC角平分线的交点， PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC. ∴PD=PE，PE=PF ∴PD=PE=PF. 例1：如图,在△ABC中,已知AC=BC, ∠C=90°, AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E. (1)如果CD=4cm,AC的长; E D A B C 二、自主合作，探究新知 典型例题 （1）解：∵AD是△ABC的角平分线, DE⊥AB,垂足为E， ∴DE=CD=4cm. ∵AC=BC,∴∠B=∠BAC. ∵∠C=90°,∴∠B=45°.∴BE=DE. 在等腰直角三角形BDE中， 二、自主合作，探究新知 (2)求证:AB=AC+CD. （2）证明：由（1）的求解过程易知， Rt△ACD≌Rt△AED(HL). ∴AC=AE. ∵BE=DE=CD， E D A B C ∴AB=AE+BE=AC+CD. M A B C P O D 例2：如图，在直角△ABC中，AC=BC，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC；AP，BD交于点O，过点O作OM⊥AC，若OM＝4，求点O到△ABC三边的距离和. 二、自主合作，探究新知 解：过点O作ON⊥BC，OE⊥AB, 典型例题 E N ∵点O在∠BAC，∠ABC的角平分线上， OM⊥AC ，ON⊥BC，OE⊥AB, ∴OM=OE,OE=ON, ∴OM=OE=ON=4, ∴OM+OE+ON=12. l1 l2 l3 例3：如图, 直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路, 现要建一个货物中转站, 要求它到三条公路的距离相等, 可选择的地址有几处? 画出它的位置. P1 P2 P3 P4 解：有4处，如图所示. 二、自主合作，探究新知 典型例题 三、即学即练，应用知识 2. 如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为(　　) A．110° B．120° C．130° D．140° A 1.如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA＝PB．下列确定P点的方法正确的是（ ）