1.4 角平分线第1课时（同步课件）-2023-2024学年八年级数学下册同步精品课堂（北师大版）

北师大版 数学 八年级下册 第1课时 第一章 三角形的证明 4 角平分线 学习目标 1.证明并掌握角平分线的性质定理及判定定理;（重点） 2.能利用角平分线的性质定理和判定定理解决简单的实际问题;（难点） 3.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力． 复习回顾 角平分线的定义 O B A 从一个角的顶点出发的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线. 几何语言: C ∵OC是∠AOB的角平分线， ∴∠AOC ＝∠BOC =∠AOB （或∠AOB ＝2∠BOC ＝2∠AOC） 一、创设情境，引入新知 还记得角平分线上的点有什么性质吗? 角平分线上的点到这个角两边的距离相等. 你能证明这一结论吗？ P A O B C D E 已知：如图，OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB, 求证：PD=PE. P A O B C D E 1 2 二、自主合作，探究新知 探究一：角平分线的性质 ∵ PD⊥OA,PE⊥OB， ∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °. 在△PDO和△PEO中， ∠PDO= ∠PEO， ∠1=∠2， OP= OP， ∴ △PDO ≌△PEO(AAS). ∴PD=PE. 证明： ∵OC平分∠AOB ∴∠1=∠2 二、自主合作，探究新知 性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 应用条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等. 应用格式： ∴PD = PE （在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）. 推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个. ∵OP 是∠AOB的平分线， PD⊥OA,PE⊥OB， B A D O P E C 知识要点 二、自主合作，探究新知 跟踪练习 1.如图，在△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于点D.若AC=3cm，则AE+DE= . 3cm 2.如图，在△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC，BE=5，BC=4，则点E到AB的距离是 . 3cm 例1：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD, DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E，F.求证：AB=AC. A B C D E F 二、自主合作，探究新知 证明:∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC， ∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °. 在Rt△BDE 和 Rt△CDF中， DE=DF， BD=CD， ∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL). ∴ ∠B=∠C. ∴ AB=AC. 典型例题 二、自主合作，探究新知 探究二：角平分线的判定 P A O B C D E 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 想一想：交换角的平分线性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？ 角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 思考：这个结论正确吗？ 逆 命 题 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE. 求证：点P在∠AOB的角平分线上. B A D O P E 二、自主合作，探究新知 证明：作射线OP， ∴点P在∠AOB 角的平分线上. ∵PD⊥OA,PE⊥OB. ∴∠PDO=∠PEO=90°， 在Rt△PDO和Rt△PEO 中， OP=OP（公共边）， PD= PE（已知 ）， ∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）. ∴∠AOP=∠BOP（全等三角形的对应角相等）. 二、自主合作，探究新知 知识要点 判定定理： 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. P A O B C D E 应用条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等. 定理的作用：判断点是否在角平分线上. 应用格式： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE. ∴点P 在∠AOB的平分线上. 例2：如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长. 二、自主合作，探究新知 典型例题 解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，且DE＝DF，∴AD平分∠BAC.又∵∠BAC＝60°，∴∠BAD=30°.在Rt△ADE中，∠AED=90°，AD=10，∴DE=AD=×10=5. 2.如图所示，DA⊥AC，DE⊥BC，垂足分别为A，E，若DA=5 cm，DE=5 cm，∠ACD=30°，则∠DCE的度数为(　　)A.30° B.40° C.50° D.60° 三、即学即练，应用知识 1.如图，OP