5.2.1三角函数的概念第1课时讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

任意角的三角函数 一、主要概念、定理、公式及规律 1.主要概念 （1）设是一个任意角,它的终边与单位圆相交于点 ①把点的纵坐标叫做的正弦值,记作，即； ②把点的横坐标叫做的余弦值,记作，即； ③把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切值，记作，即. (2)设是任意大小的角,角的终边上任意一点的坐标为,它到原点的距离为,那么角的三角函数定义为：正弦函数；余改函数；正切函数. 2．主要公式及规律 （1）诱导公式： 公式一 ， ， ，其中． （2）各象限角的正弦、余弦、正切函数的符号： （3）同角三角函数的基本关系式： ，． 二、思想、方法 1．一个任意角的三角函数值只与该角的终边位置有关；根据任意角的三角函数定义中横、纵坐标的取值范围，可以确定函数的定义域及函数值的符号． 2．根据任意角三角函数定义可知，终边相同的角的同一三角函数值相等，即得到了诱导公式一，从而可以把的三角函数值，转化为求内的角的三角函数值． 3．利用同角关系进行三角函数式的化简（求值）或三角恒等式的证明时，要关注代数式的结构特征：次数；变量的个数；结构（和、差、积、商）． 三、典型例题 类型 任意角的三角函数的定义 例1 已知角的终边在直线上，求角的正弦值、余弦值和正切值． 例2 已知角的终边上一点 ，且，求，的值． 四、当堂练习 （一）单选题 1．已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则的值为（ ）． （A） （B） （C） （D） 2．已知角的终边经过点，且，则（ ）． （A）8 （B） （C）4 （D） 3．若角的终边与直线重合，且，又是终边上一点，且，则等于（ ）． （A）2 （B） （C）4 （D） （二） 多选题 4.已知终边过点，且，则得值可以为（    ） A．0 B．1 C． D．4 5.在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则的值可以是（    ） 6.如图，在平面直角坐标系中，圆O与x轴的正半轴相交于点，过点，作x轴的平行线与圆O相交于不同的B，C两点，且B点在C点左侧，设，，下列说法正确的是（    ）    A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 （三）填空题 7．已知角的终边在直线上，则 ． （四）解答题 8．已知角的终边上一点，求角的各三角函数值． 9．已知角终边上一点，且，求的值． 10．已知角的终边经过点，且，，求实数的取值范围． 四、课后巩固 1．若角的终边过点，则等于（ ）． （A） （B） （C） （D） 2．点在圆上沿逆时针方向匀速旋转，每秒旋转弧度．已知1秒时，点的坐标为，则3秒时，点的坐标为（ ）． （A） （B） （C） （D） 3．若角终边上一点在函数的图象上，则的值为 ． 4．已知角的终边在直线上，求的值． 5．角的终边上存在一点，且，求的值． 6．已知角的终边上的点与点关于轴对称（，），角的终边上的点与点关于直线对称，求的值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 任意角的三角函数 【答案】 类型 任意角的三角函数的定义 例1 已知角的终边在直线上，求角的正弦值、余弦值和正切值． 解 由得，即，即． 当时，．所以角的终边与单位圆的交点坐标为． 所以，，． 当时，．所以角的终边与单位圆的交点坐标为． 所以， ， ． 注意 角的终边是一条射线，不是直线，因此本题需分类讨论． 例2 已知角的终边上一点 ，且，求，的值． 解 因为，所以． 又因为， ，所以． 所以点的坐标是． 所以， ． 注意 本题若去掉这个条件，则，需分类求解． 四、当堂练习 （一）单选题 1．已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则的值为（ ）． （A） （B） （C） （D） 【答案】A 2．已知角的终边经过点，且，则（ ）． （A）8 （B） （C）4 （D） 【答案】B 3．若角的终边与直线重合，且，又是终边上一点，且，则等于（ ）． （A）2 （B） （C）4 （D） 【答案】A． 【解析】，且 （二） 多选题 4．已知终边过点，且，则得值可以为（    ） A．0 B．1 C． D．4 【答案】ABC 根据三角函数的定义可得，， 所以或，即. 故选：ABC 5.在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则的值可以是（    ） A． B．1 C．0 D．2 【答案】BC 由题设，故，整理得， 所以或. 故选：BC 6.如图，在平面直角坐标系中，圆O与x轴的正半轴相交于点，过点，作x轴的平行线与圆O相交于不同的B，C两点，且B点在C点左侧，设，，下列说法正确的是（    ）    A．若，则 B．若，则 C．若，则