2024年 九年级数学中考复习 圆与三角形综合压轴综合题 专题训练

2024年 九年级数学中考复习 圆与三角形综合压轴综合题 专题训练 1． 如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，点P是的中点，过点P作PD⊥AB，交AB延长线于点D，连接BP． （1）求证：∠CBP＝∠PBD； （2）过P作PG⊥BC交BC于G点，若AB＝6，BD＝4，求BC的长． 2．如图，在锐角三角形ABC中，，是的外接圆，连结AO，BO，延长BO交AC于点D． （1）求证：AO平分； （2）若的半径为5，，求DC的长； （3）若，求的值（用含m的代数式表示）． 3．如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD∥BM，交AB于点F，且=，连接AC，AD，延长AD交BM于点E． （1）求证：△ACD是等边三角形； （2）连接OE，若DE=2，求OE的长． 4．已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PC、PD． (1)如图①，当PA的长度等于 时，∠PAB＝60°；当PA的长度等于 时，△PAD是等腰三角形； (2)如图②，以AB边所在直线为x轴、AD边所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系（点A即为原点O），把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S1、S2、S3．坐标为（a，b），试求2 S1 S3－S22的最大值，并求出此时a，b的值． 5．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（-4，0），点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P，D，B三点作⊙Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于点F，连结EF，BF． （1）求直线AB的函数解析式； （2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时． ①求证：∠BDE=∠ADP； ②设DE=x，DF=y．请求出y关于x的函数解析式； （3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点P的坐标：如果不存在，请说明理由． 6．如图1，，是等边三角形，且点B、C、E在同一条直线上，连接，． （1）求证：； （2）如图2，若的外接圆O交于点F，请你证明是的切线； （3）若，，求的边长． 7．如图，为的内接三角形，，垂足为D，直径平分，交于点F，连结. （1）求证：； （2）若，求的长； （3）若点G为的中点，连结，若点O在上，求的值. 8．已知钝角三角形内接于分别为的中点，连接. （1）如图1，当点在同一条直线上时，求证：. （2）如图2，当不在同一条直线上时，取的中点，连接交于点，当时. ①求证：是等腰三角形； ②如图3，连并延长交于点，连接.求证：. 9．如图1，⊙O为锐角三角形ABC的外接圆，点D在上，AD交BC于点E，点F在AE上，满足∠AFB﹣∠BFD＝∠ACB，设∠ACB＝α． （1）用含α的代数式表示∠BFD． （2）如图2，若FG∥AC交BC于点G，BE＝FG，连结BD，DG，求证：△BDE≌△FDG． （3）在（2）的条件下，如图3，当AD为⊙O的直径，的长为2时，求的长． 10．如图，点G在线段AC上，AG=6，点B是线段AG上一动点，以AB为边向下方作正方形ABEF，以BC为腰向下方作等腰直角三角形BCD，∠CBD=90°，当AB＜BC时，2BG－DE=4． （1）如下表，某同学分别用特殊值法和一般法求CG的长，请你将解答过程补充完整． 探究1 假设BG=3，求CG的长． 探究2 设BG=x，求CG的长． 解：… 解：… （2）过点A，F，G的⊙O交边CD于点H．①连结GH，FH，若△CGH是等腰三角形，求AB的长．②当⊙O与边CD有两个交点时，求AB的取值范围． 11．等腰三角形中，且内接于圆，、为边上两点在、之间，分别延长、交圆于、两点如图，记，． （1）求的大小用，表示； （2）连接，交于如图2）若，且求证：； （3）在（2）的条件下，取中点，连接、如图3)，若， 求证：，； 请直接写出的值． 12．定义：两个角对应互余，且这两个角的夹边对应相等的两个三角形叫做“青竹三角形”.如图1，在△ 和 中，若 ，且 ，则△ 和 是“青竹三角形”. （1）以下四边形中，一定能被一条对角线分成两个“青竹三角形”的是　 　；（填序号） ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形. （2）如图2，△ ， ， ，点D是 上任意一点（不与点A、B重合），设AD、BD、CD的长分别为a、b、c，请写出图中的一对“青竹三角形”，并用含a、b的式子来表示 ； （3）如图3，⊙O的半径为4，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且△ABC和△ADC是“青竹三角形”.