第27章 相似－巧用“基本图形”探索相似条件素养训练课件2023-2024学年人教版九年级数学下册

巧用“基本图形”探索相似条件 素养训练 第27章 相似 1 [中考·雅安]如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF经过点O，分别交AB，CD于点E，F，FE的延长线交CB的延长线于点M. 2 (1)求证：OE＝OF. 3 (2)若AD＝4，AB＝6，BM＝1，求BE的长. 【解】如图，过点O作ON∥BC交AB于点N，则△AON∽△ACB． 4 2 如图，AB＝16 cm，AC＝12 cm，动点P，Q分别以每秒2 cm和1 cm的速度同时开始运动，其中点P从点A出发沿AC边一直移动到点C为止，点Q从点B出发沿BA边一直移动到点A为止(点P到达点C后，点Q继 续运动)．设运动时间为t s. (1)请直接用含t的代数式表示AP的长和AQ的长，并写出t的取值范围. 【解】由题意得AP＝2t cm(0≤t≤6)， AQ＝(16－t)cm(0≤t≤16)． (2)当t等于何值时，△APQ与△ABC相似？ 【点方法】 本题是探究△APQ与△ABC相似，由于没有明确两个三角形的对应元素，所以要分情况讨论，由于∠A是公共角，所以点A和点A是对应点，另两点要分两种情况讨论． 3 4 【点方法】 当所证等积式或比例式运用“三点定型法”不能定型或能定型而不相似，条件又不具备成比例线段时，可考虑用中间比“搭桥”，称为“等比替换法”，有时还可用“等积替换法”． 5 如图，已知∠DAB＝∠EAC，∠ADE＝∠ABC． 求证：(1)△ADE∽△ABC. 【证明】∵∠DAB＝∠EAC， ∴∠DAE＝∠BAC． 又∵∠ADE＝∠ABC， ∴△ADE∽△ABC． 6 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC边上的一个动点(不与点B，C重合)，连接AE，并作EF⊥AE，交CD边于点F，连接AF.设BE＝x，CF＝y. 20 (1)求证：△ABE∽△ECF； 【证明】∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠C＝90°.∴∠BAE＋∠AEB＝90°. ∵AE⊥EF，∴∠AEF＝90°， ∴∠CEF＋∠AEB＝90°.∴∠BAE＝∠CEF. 又∠B＝∠C，∴△ABE∽△ECF. 21 (2)▱当x为何值时，y的值为2？ 22 7 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作MN⊥AC于点M，交AB的延长线于点N，过点B作BG⊥MN于点G.求证： (1)△BGD∽△DMA； 【证明】∵MN⊥AC，BG⊥MN， ∴∠BGD＝∠DMA＝90°. ∵以AB为直径的⊙O交BC于点D， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∴∠ADM＋∠CDM＝90°. 又∵∠DBG＋∠BDG＝90°，∠CDM＝∠BDG， ∴∠DBG＝∠ADM，∴△BGD∽△DMA． (2)直线MN是⊙O的切线. 【证明】连接OD，如图． 由题意得BO＝OA，BD＝DC， ∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC． 又∵MN⊥AC，∴OD⊥MN， ∵OD为⊙O的半径， ∴直线MN是⊙O的切线． 【点思路】 本题是典型的一线三垂直模型，即MN边上有三个直角，可由等角的余角相等得到相等的角，从而得到△BGD和△DMA相似． 【证明】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，AB∥CD．∴∠OAE＝∠OCF. 在△AOE和△COF中， ∴△AOE≌△COF(ASA)．∴OE＝OF. ∴＝＝.∵OA＝OC，∴＝. ∴ON＝BC＝AD＝2，AN＝BN＝AB＝3. ∵ON∥BC，∴△ONE∽△MBE. ∴＝，即＝，解得BE＝1. 【解】当0≤t＜6时， ①若QP∥BC，则有△AQP∽△ABC，∴＝. ∵AB＝16 cm，AC＝12 cm，AP＝2t cm， AQ＝(16－t)cm，∴＝，解得t＝. ②由∠A＝∠A，若∠AQP＝∠C， 则有△AQP∽△ACB， ∴＝，∴＝， 解得t＝6.4(不符合题意，舍去)． 当6≤t≤16时，点P与点C重合． ∵∠A＝∠A， ∴只有当∠AQC＝∠ACB时，△AQP∽△ACB， ∴＝，∴＝，解得t＝7. 综上所述，当t＝时，△AQP∽△ABC， 当t＝7时，△AQP∽△ACB． 如图，点D，E分别为△ABC的边AC，AB上的点，BD，CE交于点O，且＝，试问△ADE与△ABC相似吗？请说明理由. 【解】相似．理由如下： ∵＝，∠BOE＝∠COD，∠DOE＝∠COB， ∴△BOE∽△COD，△DOE∽△COB， ∴∠EBO＝∠DCO，∠DEO＝∠CBO. ∵∠ADE＝∠DCO＋∠DEO，∠ABC＝ ∠EBO＋∠CBO，∴∠ADE＝∠ABC． 又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC． 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，E为AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于点F.求证：＝. 【证明】∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，