18 第三章 第十节 二次函数中特殊三角形存在性问题 -【智乐星中考·学考传奇】2024年山东省济南市中考数学精练本

第十节　二次函数中特殊三角形存在性问题 1．(2023·四川内江)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于B(4，0)，C(－2，0)两点，与y轴交于点A(0，－2)． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求PK＋PD的最大值及此时点P的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△MAB是以AB为一条直角边的直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 2．(2023·湖南娄底)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(－1，0)，点B(5，0)，交y轴于点C. (1)求b，c的值； (2)点P(x0，y0)(0＜x0＜5)是抛物线上的动点． ①当x0取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值； ②过点P作PE⊥x轴，交BC于点E，再过点P作PF∥x轴，交抛物线于点F，连接EF，是否存在点P，使△PEF为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案 1．解：(1)将点A(0，－2)，B(4，0)，C(－2，0)分别代入得 解得 ∴抛物线的函数表达式为y＝x2－x－2. (2)∵A(0，－2)，B(4，0)， ∴直线AB的表达式为y＝x－2. 设P(m，m2－m－2)(0＜m＜4)， 则K(m2－m，m2－m－2)， ∴PK＋PD＝(m－m2＋m)＋(－m2＋m＋2)＝－m2＋m＋2＝－(m－)2＋. ∵－＜0， ∴当m＝时，PK＋PD有最大值，最大值为， 此时P(，－)． (3)存在．如图，过点A作AM2⊥AB交抛物线的对称轴于点M2，过点B作BM1⊥AB交抛物线的对称轴于点M1，连接AM1，BM2. ∵对称轴为直线x＝－＝1， ∴设M1(1，n)，则AM12＝n2＋4n＋5，BM12＝n2＋9. 由AB2＋BM12＝AM12，可得22＋42＋n2＋9＝n2＋4n＋5， ∴n＝6，∴M1(1，6)， ∴直线BM1 的表达式为y＝－2x＋8. ∵AM2∥BM1， 且经过A(0，－2)， ∴直线AM2 的表达式为 y＝－2x－2， ∴当x＝1时，y＝－2×1－2＝－4，∴M2(1，－4)． 综上所述，点M的坐标为(1，6)或(1，－4)． 2．解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(－1，0)，B(5，0)， ∴抛物线的表达式为y＝(x＋1)(x－5)＝x2－4x－5， ∴b＝－4，c＝－5. (2)由(1)得抛物线的表达式为y＝x2－4x－5， 令x＝0，则y＝－5，∴C(0，－5)， ∴直线BC的表达式为y＝x－5，设P(x0，x02－4x0－5)． ①如图，过点P作x轴的垂线，交线段BC于点D， 则D(x0，x0－5)， ∴S△PBC＝OB·PD＝×5×(x0－5－x02＋4x0＋5) ＝－x02＋x0 ＝－(x0－)2＋， ∴当x0＝时，S的值取最大，最大值为. ②存在．理由如下： 由题意可知PE⊥PF，若△PEF是等腰直角三角形， 则PE＝PF. 由①可得PE＝x0－5－x02＋4x0＋5＝－x02＋5x0. ∵PF∥x轴， ∴F(4－x0，x02－4x0－5)， ∴PF＝|2x0－4|， ∴|2x0－4|＝－x02＋5x0， 解得x0＝－1(舍去)或x0＝4或x0＝－或x0＝＋(舍去)， ∴当△PEF是等腰直角三角形时，点P的坐标为(4，－5)，(－，－)． 学科网（北京）股份有限公司 $$