第一部分23 第三章 第十节 二次函数中特殊三角形存在性问题(课件PPT) -【智乐星中考·学考传奇】2024年山东省济南市中考数学精讲本

数学 2024 济南 精讲本 1 第十节　二次函数中特殊三角形存在性问题 1．等腰三角形存在性 已知条件：若A(xA，yA)，B(xB，yB)为已知点，C为x轴上一点，为所求点． 二次函数中特殊三角形存在性问题 2 利用距离公式求坐标： (1)设点：设点C的坐标为(m，0)； (2)表示线段的平方： AB2＝(xA－xB)2＋(yA－yB)2， AC2＝(xA－m)2＋yA2，BC2＝(xB－m)2＋yB2； (3)分类讨论： ①AB2＝AC2，即(xA－xB)2＋(yA－yB)2＝(xA－m)2＋yA2； ②AB2＝BC2，即(xA－xB)2＋(yA－yB)2＝(xB－m)2＋yB2； ③AC2＝BC2，即(xA－m)2＋yA2＝(xB－m)2＋yB2. (4)求解得点C的坐标． 3 2．直角三角形存在性 利用勾股定理求坐标： (1)设点：设出点C的坐标； (2)表示线段：利用两点间距离公式分别表示出AB，AC，BC的长； (3)分类讨论： ①当点A为直角顶点时，AB2＋AC2＝BC2； ②当点B为直角顶点时，AB2＋BC2＝AC2； ③当点C为直角顶点时，AC2＋BC2＝AB2； (4)代入列方程，求解． 4 5 6 7 8 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝－ x2－ x＋2的图象与x轴交于A(－3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C.在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△BCQ是等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 母题分析：典型的等腰三角形存在性问题，涉及 等腰三角形的性质，重点在于要分类讨论，根据 等腰三角形两腰相等列关系式求解． 9 10 11 12 13 求直角三角形存在点坐标 在核心母题中的二次函数基础上，如图，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为直角三角形；若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 14 15 16 求等腰直角三角形存在点坐标 在核心母题中的二次函数基础上，如图，在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 17 解：存在．理由如下： 如图，以BC为边在两侧作正方形BCQ1Q2、正方形BCQ4Q3，则点Q1，Q2，Q3，Q4为符合题意要求的点．过点Q1作Q1D⊥y轴于点D. 18 ∵∠BCQ1＝90°，∴∠Q1CD＋∠OCB＝90°. 又∵在Rt△OBC中，∠OCB＋∠CBO＝90°，∴∠Q1CD＝∠CBO. 又∵Q1C＝BC，∠Q1DC＝∠BOC， ∴△Q1CD≌△CBO(AAS)，∴Q1D＝OC＝2，CD＝OB＝1， ∴OD＝OC＋CD＝3，∴Q1(2，3)． 同理求得Q2(3，1)，Q3(－1，－1)，Q4(－2，1)， ∴存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形，点Q的坐标为(2，3)或(3，1)或(－1，－1)或(－2，1)． 19 求相似三角形存在点坐标 在核心母题中的二次函数基础上，如图，点Q是直线AC上方抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于x轴，垂足为E.是否存在点Q，使以点B，Q，E为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 20 21 22 3．等腰直角三角形存在性 利用边相等＋勾股定理： 设P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，O(xO，yO)． ①∠P＝90°. eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(PO2＝PQ2，,PO2＋PQ2＝OQ2))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（xO－xP）2＋（yO－yP）2＝（xP－xQ）2＋（yP－yQ）2，,（xO－xP）2＋（yO－yP）2＋（xP－xQ）2＋（yP－yQ）2＝,（xO－xQ）2＋（yO－yQ）2；)) ②∠Q＝90°. eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(QO2＝QP2，,QO2＋QP2＝OP2))⇒ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（xQ－xO）2＋（yQ－yO）2＝（xQ－xP）2＋（yQ－yP）2，,（xQ－xO）2＋（yQ－yO）2＋（xQ－xP）2＋（yQ－yP）2＝,（xO－xP）2＋（yO－yP）2；)) ③∠O＝90°. eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OP2＝OQ2，,OP2＋OQ2＝PQ2))⇒ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（xO－xP）2＋（yO－yP）2＝（xO－xQ）2＋（yO－yQ）2，,（xO－xP）2＋（yO－yP）2＋（xO－xQ）2＋（yO－yQ）2＝,（xP－xQ）2＋（yP－yQ）2.)) 4．相似三角形存在性 若以点A，B，C为顶点的三角形与已知△DEF相似，其中∠ABC＝∠DE