第一部分31 方法专题六 有关线段中点的五种辅助线作法(课件PPT) -【智乐星中考·学考传奇】2024年山东省济南市中考数学精讲本

数学 2024 济南 精讲本 1 方法专题六　有关线段中点的五种辅助线作法 有关线段中点的五种辅助线作法 2 3 4 作法1　中位线定理 1．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2 ，BC＝3，点D，E分别 是AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF＝ BC，连接DF，EF，则EF的 长为________． 5 2．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，点E，F分别是BC，AD的中点，连接EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N. 证明：∠BME＝∠CNE. 6 7 作法2　构造等腰三角形“三线合一” 3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC的中点， MN⊥AC于点N，则MN的长是________． 8 4．(1)如图1所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线交AB于 点D，垂足为E，当BD＝4 cm，∠B＝30°时，△ACD的周长为________cm. (2)如图2所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，点D是BC的中点， DE⊥AB，垂足为E，那么BE∶AB＝________． 12 3∶4 9 作法3　构造垂直平分线 5．如图，在△ABC中，DE为线段AB的垂直平分线．若△ABC的周长为 18，线段AE的长度为4，则△BCD的周长为(　　) 　　　　　　 　　　　　　　　　 A．10 B．11 C．12 D．14 A 10 6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB的垂直平分线DE(垂足为D)交BC的延长线于点E，求线段CE的长． 11 12 作法4　构造斜边中线 7．如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC于点D，点M为BC的中点，求证：AB＝2DM. 13 14 15 8．如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝10，点M是AB的中点，连接MC，MD，CD.若CD＝6，求△MCD的面积． 16 17 9．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于点G，CD＝AE. (1)求证：CG＝EG； (2)已知BC＝13，CD＝5，连接ED，求△EDC的面积． 18 19 作法5　构造倍长中线(类中线) 10．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD上一点，延长BF交AC于点E，且AE＝EF，求证：BF＝AC. 20 21 11．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6，求BC的长． 22 23 12．如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，试判断线段AD与EF的数量关系，并加以证明． 24 25 26 证明：如图，连接BD，取BD的中点H，连接HE，HF. ∵点E，F分别是BC，AD的中点， ∴FH∥AM，FH＝eq \f(1,2)AB，EH∥CD， EH＝eq \f(1,2)CD， ∴∠BME＝∠HFE，∠CNE＝∠HEF. ∵AB＝CD，∴FH＝EH， ∴∠HFE＝∠HEF，∴∠BME＝∠CNE. 解：如图，连接AE.设CE的长为x， 则BE＝x＋3. 在Rt△ABC中，由勾股定理得AB＝5. ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE＝BE＝x＋3. 在Rt△ACE中， 由勾股定理得x2＋42＝(3＋x)2， 解得x＝eq \f(7,6)，即CE＝eq \f(7,6). 证明：如图，取AC的中点N， 连接MN，DN. ∵点M为BC的中点， ∴MN为△ABC的中位线， ∴MN∥AB，且MN＝eq \f(1,2)AB， ∴∠B＝∠NMC. 又∵∠B＝2∠C， ∴∠NMC＝2∠C， ∴∠NMC＝∠MDN＋∠MND＝2∠C. 又∵DN为Rt△ADC斜边上的中线， ∴DN＝NC＝AN＝eq \f(1,2)AC， ∴∠MDN＝∠C，∴∠MND＝∠C＝∠MDN， ∴DM＝MN，则DM＝eq \f(1,2)AB，∴AB＝2DM. 解：如图，过点M作ME⊥CD，垂足为E. ∵∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝10，点M是AB的中点， ∴CM＝DM＝eq \f(1,2)AB＝5， ∴DE＝eq \f(1,2)CD＝3. 在Rt△DEM中，EM＝eq \r(DM2－DE2)＝eq \r(52－32)＝4， ∴S△MCD＝eq \f(1,2)CD·EM＝eq \f(1,2)×6×4＝12. (1)证明：如图，连接DE. 在Rt△ADB中，点E是AB的中点，∴DE＝eq \f(1,2)AB＝AE. ∵CD＝AE，∴DE＝DC. 又∵DG⊥CE，∴CG＝EG. (2)解：如图，作EF⊥BC于点F. ∵BC＝13，CD＝5， ∴BD＝13－5＝8，DE＝DC＝5. ∵