预习11复数的四则运算（七大考点）-2024年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019）

预习11复数的四则运算 一、复数的加减运算 1.复数的加减运算 （1）运算法则:设,则 （2）加法运算律： 对任意，有 交换律 结合律 2.复数加减法的几何意义 （1）复数加法的几何意义. 如图,设复数 对应的向量分别为,四边形为平行四边形,则与对应的向量是. （2）向量减法的几何意义 如图所示,设分别与复数对应,且不共线,则这两个复数的差与向量（即对应. 二、复数的乘除运算 1.复数的乘法法则 设是任意两个复数,则 2.复数的乘法的运算律 对于任意,有 交换律 结合律 乘法对加法的分配律 3.复数的除法法则 设,且,则. 注:. 4.在复数范围内,实系数一元二次方程的求根公式 （1）当时,;（2）当时,. 考点01复数的加减运算 【方法点拨】（1）复数的加、减运算实质就是将实部与实部相加减,虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部,因此要准确地提取复数的实部与虚部. （2）复数的加、减运算可以类比多项式的加、减运算(类似于合并同类项).若有括号,括号优先;若无括号,可以从左到右依次进行计算. 【例1】复数，其中为实数，若为实数，为纯虚数，则（    ） A．6 B． C． D．7 【例2】已知复数，，则的实部与虚部分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式1-1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知复数满足（是虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数（其中）为“等部复数”，则复数在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 考点02复数加、减运算的几何意义 【方法点拨】向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据.利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点,在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数.注意向量对应的复数是 (终点对应的复数减去起点对应的复数). 【例3】复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为（    ） A． B． C． D． 【例4】设复数满足，且的实部大于虚部，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知平行四边形ABCD中，与对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于P点. （1）求对应的复数； （2）求对应的复数； （3）求△APB的面积. 【变式2-2】如图在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为（    ）． A． B． C． D． 【变式2-3】已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为，向量对应的复数为，向量对应的复数为，求： (1)点D对应的复数； (2)平行四边形ABCD的面积． 考点03复数的乘法运算 【方法点拨】复数乘法运算法则：复数的乘法可以按照多项式的乘法计算,只是在结果中要将换成,并将实部、虚部分别合并 【例5】已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【例6】若，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知复数，（），若为纯虚数，则的值为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【变式3-2】如图，在复平面内，复数，对应的点分别为，，则复数的虚部为（    ）    A． B． C． D． 【变式3-3】已知复数z满足，则复数（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 考点04复数的乘方运算 【方法点拨】有如下性质：如果，那么有 【例7】已知复数，则（    ） A．0 B．1 C． D． 【例8】设复数对应的点在第四象限，则复数对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式4-1】复数在复平面内对应的点所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式4-2】已知复数，则（    ） A．0 B．1 C． D． 【变式4-3】已知复数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 考点05复数的除法运算 【方法点拨】两个复数代数形式的除法运算：①首先将除式写为分式;②再将分子、分母同乘分母的共轭复数;③然后将分子、分母分别进行乘法运算,并将其化为复数的代数形式. 【例9】已知复数，则（　　） A． B． C． D． 【例10】已知i为虚数单位，在复平面内，复数，以下说法正确的是（    ） A．复数z的虚部是 B． C．复数z的共轭复数是 D．复数z的共轭复数对应的点位于第四象限 【变式5-1】已知复数满足，则（    ） A．1 B． C． D． 【变式5-2】已知（，为虚数单位），则（    ） A． B．3 C．1 D．2