第五板块 大题考法精研(二)——证明问题（课件PPT）-【新高考方案】2024年高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

大题考法精研(二) ——证明问题 章节标题内容1 Use "Title Only" Layout 1 圆锥曲线中的证明问题在高考时有出现，主要有两大类：一是证明点线位置关系，如直线或曲线过某个点、直线平行与垂直、直线对称等问题，二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系，如相等与不相等． [标杆题] A，C分别是E的上、下顶点，B，D分别是E的左、右顶点，|AC|＝4. (1)求E的方程； (2)设P为第一象限内E上的动点，直线PD与直线BC交于点M，直线PA与直线y＝－2交于点N.求证：MN∥CD.　　 [内化基本解题思维] 圆锥曲线中证明问题的求解策略 处理圆锥曲线中的证明问题常采用直接法证明，证明时常借助于等价转化思想，化几何关系为数量关系(如证明直线垂直可转化为证明两直线的斜率之积为－1或方向向量的数量积为0，证明三点共线可转化为斜率相等或对应的向量共线)，然后借助函数方程思想、数形结合思想解决. 逐级演进·练清悟通 (1)求椭圆C的标准方程； (2)设椭圆C的左、右顶点分别为P，Q，直线PA与直线x＝4交于点F，试证明B，Q，F三点共线． ②当直线l的斜率存在时，显然斜率k≠0，设直线l的方程为y＝k(x－1)． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由(1)可得左、右顶点分别为P(－2,0)，Q(2,0)， 思维变通升华 当斜率存在时，设出直线方程y＝k(x－1)，联立方程得到(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，利用根与系数的关系得到x1，x2间的关系，再求出F点，最后利用向量共线得到点共线即可． 所以kNC>0，kMC<0.设直线NC：y＝k1x－1(k1>0)，直线MC：y＝k2x＋1(k2<0)． 因为直线NC与直线MC相交于点C， 因为直线MC：y＝k2x＋1交AP于点D，令x＝2得y＝2k2＋1，故D(2,2k2＋1)． 又A(2,1)，所以|AD|＝1－(2k2＋1)＝－2k2，|DP|＝2k2＋1. 思维变通升华 证明与线段长度有关的等式问题，一般是利用距离公式或弦长公式写出长度表达式，再借助根与系数之间的关系或斜率、截距等证明等式两边相等． (2)证明：当直线l1与x轴重合时，直线l1与抛物线E只有一个交点，不合乎题意，所以直线l1不与x轴重合．同理可知直线l2也不与x轴重合． 同理可知，直线BC的方程为2x－(y2＋y3)y＋y2y3＝0. 因为点(－1,0)在抛物线的对称轴上，由抛物线的对称性可知，交点G必在垂直于x轴的直线上，所以只需证明点G的横坐标为定值即可． 所以点G的横坐标为1.因此，直线AD与BC的交点G必在定直线x＝1上． 思维变通升华 涉及抛物线的定义问题：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化． (2023·北京高考)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为， [演进题1] (2023·盐城模拟)阿基米德(公元前287年—公元前212年，古希腊)不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．在平面直角坐标系Oxy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的面积为2π，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形．过点(1,0)的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B. [规范解答]　(1)依题意有 解得所以椭圆C的标准方程是＋＝1. (2)证明：①当直线l的斜率不存在，易知A，B，或A，B.当A，B时，直线PA的方程为y＝(x＋2)，所以点F(4,3)，此时，＝，＝(2,3)，显然B，Q，F三点共线． 同理A，B时，B，Q，F三点共线． 由整理可得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0， 则x1＋x2＝，x1x2＝. ＝ 直线PA的方程为y＝(x＋2)．又因为直线PA与x＝4交于F，所以F. 所以＝(x2－2，y2)，＝. 因为(x2－2)·－2y2 ＝2×－5×＋8 ＝ ＝2k·， 又2x1x2－5(x1＋x2)＋8 所以(x2－2)－2y2＝0.所以∥. 所以B，Q，F三点共线． ＝＝0， [演进题2] 如图，已知椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的上、下顶点为M(0,1)，N(0，－1)，右顶点为P，离心率为，直线x＝a和y＝b相交于点A，过N作直线交x轴的正半轴于B点，交椭圆于C点，连接MC交AP于点D. (1)求Γ的方程； (2)求证：＝. [规范解答]　(1)依题意可得b＝1，e＝＝，又c2＝a2－b2，解得所以Γ的