第五板块 创新应用考法——从宽度、深度、开放度上激活思维（课件PPT）-【新高考方案】2024年高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

创新应用考法 ——从宽度、深度、开放度上激活思维 章节标题内容1 Use "Title Only" Layout 1 ■关联点：基本不等式＋直线的方程＋圆的轨迹方程 1．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值(不为1)的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面 一、命题“宽度”上——注重横向多元拓展 答案：D　 答案：D　 答案：C　 由Δ＝16＋16b>0，得b>－1， 所以y1＋y2＝－4，y1y2＝－4b.所以y0＝2，x0＝2，即P(2,2)． 答案：D　 二、命题“深度”上——强化纵向高次延伸 答案：C　 答案：B　 ■延伸链：切线性质→求公共弦方程→三角形面积的最值 3．[多选]已知⊙E：(x－2)2＋(y－1)2＝4，过点P(5,5)作圆E的切线，切点分别为M，N，则下列命题中真命题有(　 ) B．直线MN的方程为3x＋4y－14＝0 C．圆x2＋y2＝1与⊙E共有4条公切线 答案：ABD　 答案：AC　 解析：∵a2－b2＝c2，m2＋n2＝c2，∴a2＝b2＋c2，m2＝c2－n2. ∵P在第一象限，且|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF1|－|PF2|＝2m，(|PF1|＋|PF2|)2－(|PF1|－|PF2|)2＝4a2－4m2＝4|PF1|·|PF2|＝8，∴a2－m2＝2，故B错误； 设椭圆的焦距为2c，∠F1PF2＝θ，|PF1|>|PF2|，则|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF1|－|PF2|＝2m，解得|PF1|＝a＋m，|PF2|＝a－m.∵c2＝a2－b2＝ m2＋n2，即a2－m2＝b2＋n2，∴|PF1|·|PF2|＝a2－m2＝b2＋n2，cos θ＝ |PF1||PF2|sin θ＝nb，故C正确； 设椭圆的焦距为2c，则|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF1|－|PF2|＝2m，解得|PF1|＝a＋m，|PF2|＝a－m.在△F1PF2中，根据余弦定理可得|F1F2|2 三、命题“开放度”上——探究多渠道解决问题 由(2)知直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0，联立x2＝2y，消去y整理得x2－2tx－1＝0，由根与系数的关系可得x1＋x2＝2t，x1x2＝－1. 解：(1)设P(x0，y0)是Γ上的一点，bx－ay＝0与bx＋ay＝0是Γ的两条渐近线，P到两条渐近线的距离之积d1·d2＝ 内有两点A(－1,0)和B(2,1)，且该平面内的点P满足|PA|＝|PB|，若点P的轨迹关于直线mx＋ny－2＝0(m>0，n>0)对称，则＋－15的最小值是 (　 ) A．10＋2 B．10＋2 C．－5＋2 D．－7＋2 解析：设点P的坐标为(x，y)，因为|PA|＝|PB|，则|PA|2＝2|PB|2，即(x＋1)2＋y2＝2[(x－2)2＋(y－1)2]，所以点P的轨迹方程为(x－5)2＋(y－2)2＝20.因为P点的轨迹关于直线mx＋ny－2＝0(m>0，n>0)对称，所以圆心(5,2)在此直线上，即5m＋2n＝2，所以＋－15＝(5m＋2n)－15＝－7＋≥－7＋×2＝－7＋2，当且仅当＝，即时，等号成立．故选D. ■关联点：双曲线性质＋裂项相消法求和＋三角形面积公式 2．已知一族双曲线En：x2－y2＝(n∈N*，且n≤2 023)，设直线x＝2与En在第一象限内的交点为An，由An向En的两条渐近线作垂线，垂足分别为Bn，Cn.记△AnBnCn面积为an，则a1＋a2＋…＋a2 023＝ (　 ) A. B. C. D. 解析：由题意得，双曲线渐近线方程为y＝±x，即x＋y＝0，x－y＝0，两条渐近线互相垂直．设An(x0，y0)是双曲线上的点，则x－y＝，且An(x0，y0)到两条渐近线的距离分别为|AnBn|＝，|AnCn|＝.由于AnBn⊥AnCn，所以△AnBnCn的面积为an＝|AnBn|·|AnCn|＝··＝(x－y)＝×，即an ＝×.所以a1＋a2＋…＋a2 023＝×＝＝. ■关联点：直线的倾斜角与斜率＋直线与抛物线的位置关系＋圆的方程 3．已知点P在抛物线C：y2＝2x上，直线l：y＝－x＋b(b<3)与抛物线C交于A，B两点(均不与P重合)，且直线PA，PB的倾斜角互补，设抛物线C的焦点为F，则以PF为直径的圆的标准方程为 (　 ) A.2＋(y－1)2＝ B.2＋2＝ C.2＋(y－1)2＝ D.2＋(y－1)2＝ 解析：设P(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以kPA＝，kPB＝. 由题意得，