第四板块 大题考法精研(三)——概率统计的综合问题（课件PPT）-【新高考方案】2024年高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

大题考法精研(三) ——概率统计的综合问题 章节标题内容1 Use "Title Only" Layout 1 1 2 目 录 3 题型一　概率统计中的决策性问题 题型二　概率统计与数列的综合 题型三　概率统计与函数、不等式的综合 2 [例1]　(2023·烟台二模)某企业拥有甲、乙两条零件生产线，为了解零件质量情况，采用分层随机抽样方法从两条生产线共抽取180个零件，测量其尺寸(单位：mm)得到如下统计表，其中尺寸位于[55,58)的零件为一等品，位于[54,55)和[58,59)的零件为二等品，否则零件为三等品. 题型一　概率统计中的决策性问题 生产线 [53,54) [54,55) [55,56) [56,57) [57,58) [58,59) [59,60] 甲 4 9 23 28 24 10 2 乙 2 14 15 17 16 15 1 (1)完成2×2列联表，依据α＝0.05的独立性检验能否认为零件为一等品与生产线有关联？ 项目 一等品 非一等品 合计 甲       乙       合计       (2)将样本频率视为概率，从甲、乙两条生产线中分别随机抽取2个零件，每次抽取零件互不影响，以ξ表示这4个零件中一等品的数量，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)； (3)已知该企业生产的零件随机装箱出售，每箱60个．产品出厂前，该企业可自愿选择是否对每箱零件进行检验．若执行检验，则每个零件的检验费用为5元，并将检验出的三等品更换为一等品或二等品；若不执行检验，则对卖出的每个三等品零件支付120元赔偿费用．现对一箱零件随机检验了10个，检出了1个三等品．将从两条生产线抽取的所有样本数据的频率视为概率，以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望作为决策依据，是否需要对该箱余下的所有零件进行检验？请说明理由． [解]　(1)由题意得列联表如下， 项目 一等品 非一等品 合计 甲 75 25 100 乙 48 32 80 合计 123 57 180 因为4.621>3.841＝x0.05，依据小概率值α＝0.05的独立性检验，可以认为零件是否为一等品与生产线有关联． 所以ξ的分布列为 设余下的50个零件中的三等品个数为X， 设检验费用与赔偿费用之和为Y， 若不对余下的所有零件进行检验，则Y＝10×5＋120X， 若对余下的所有零件进行检验，则总检验费用为60×5＝300元． 因为350>300，所以应对剩下零件进行检验． [思维建模] 解决决策性问题的关键是比较衡量指标的大小关系，所以根据题意准确求出衡量指标是根本．其基本的解题步骤： (1)准确定位，确定事件的性质，这是准确建立模型、求解概率的基础； (2)建立目标，根据概率知识求出衡量指标的目标式，如果没有特殊要求，则需要求出数学期望与方差两个方面的指标值； (3)比较大小，比较衡量指标的大小，一般采用作差法或作商法比较大小，如果没有特殊要求，则需要先比较变量取值的平均水平——数学期望，若两者相同，则进一步比较变量取值的离散集中程度——方差； (4)做出决策，根据衡量指标值的大小，做出相应的决策． [针对训练] 1．(2023·泉州模拟)某技术部门对工程师进行达标等级考核，需要进行两轮测试，每轮测试的成绩在90分及以上的定为该轮测试通过，只有通过第一轮测试的人员才能进行第二轮测试，两轮测试的过程相互独立，并规定： ①两轮测试均通过的定为一级工程师； ②仅通过第一轮测试，而第二轮测试没通过的定为二级工程师； ③第一轮测试没通过的不予定级． (1)求经过本次考核，甲、乙、丙三位工程师中恰有两位被定为一级工程师的概率； (2)公司为鼓励工程师参加等级考核设制两套奖励方案： 方案一：奖励定为一级工程师2 000元，奖励定为二级工程师1 500元，未定级给予鼓励奖500元； 方案二：获得一级或二级工程师均奖励2 000元，未获得任何等级的不予奖励． 采用哪套方案，公司的奖励支出会更少？ 解：(1)设甲、乙、丙被定为一级工程师的事件分别为A1，A2，A3， 事件C表示三位工程师中恰有两位被定为一级工程师． (2)方案一：设甲、乙、丙获得的奖金分别为X，Y，Z，则X，Y，Z的可能取值均为2 000,1 500,500， 方案二：设甲、乙、丙获得的奖金分别为X′，Y′，Z′，则X′，Y′，Z′的可能取值均为2 000,0， 考法分析 概率与数列的交汇应用比较广泛，通过构造数列模型，运用数列的思想构造递推数列模型，可以证明不等式、求解最值及生活中的最优问题．主要题型有： (1)求通项公式：关键是找出概率Pn或数学期望E(Xn)的递推关系式，然后根据构造法(一般构造等比数列)，求出通项公式； (2)求和：主要是数列中的倒序求和、错位求和、裂项求和； (3)利用等差、等比数列的性