第三板块 小题压轴考法——空间中的最值、动态、截面问题（课件PPT）-【新高考方案】2024年高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

小题压轴考法 ——空间中的最值、动态、截面问题 章节标题内容1 Use "Title Only" Layout 1 1 2 目 录 3 命题点一　最值问题 命题点二　动态问题 命题点三　截面问题 2 [升维突破] 教材母题 (北师大版必修二P252例4)埃及胡夫金字塔大约建于公元前2580年，其形状为正四棱锥．塔高约146.6 m，底面边长约230.4 m．则这座金字塔的侧面积(精确到0.1 m2)和体积(精确到0.1 m3)分别为________． 答案：85 914.9 m2　2 594 046.0 m3 命题点一　最值问题 解析：如图所示，AC为高，BC为底面的边心距，则AC＝146.6 m，BC＝115.2 m，底面周长c＝4×230.4 m. 因此,金字塔的侧面积约为85 914.9 m2，体积约为2 594 046.0 m3. [升维1]　点P是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1外接球球面上的任意一点，则四棱锥P-ABCD的体积的最大值为 (　 ) 答案：B　 思维升华：本题与基准题相比，将四棱锥放在球内，增加了四棱锥高的不确定条件，将体积确定问题改为四棱锥的体积最值问题，需要判断高的最大值，同时增加了球的背景，体现了几何体的多样性． [升维2]　已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为(　 ) 答案：C　 思维升华：本题与基准题和升维1相比，将四棱锥放在球内，增加了四棱锥棱长和高的不确定条件，将体积确定问题改为四棱锥的体积最值问题，同时增加了球的背景，需要判断高和棱长的关系，将体积公式构造成关于高h的函数，利用导数求最值，体现了几何体的多样性和体积运算的灵活性． [答案]　C [解析]　如图,设该球的球心为O,半径为R， 解得R＝3. [思维建模] 立体几何中最值问题的解题策略 (1)函数法，即根据题中信息直接建立函数关系式，或通过空间向量的坐标运算建立函数关系式，转化为函数的最值问题求解，最后根据函数的形式，选择利用函数的性质、基本不等式或导数求最值； (2)根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断求解； (3)将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解． [针对训练] 1.在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长均为2，活动弹子N在线段AB上移动(包含端点)，弹子M，O分别固定在线段EF，AC的中点处，且MO⊥平面ABCD，则当∠MNO取最大值时，多面体M-BCON的体积为 (　 ) 答案：A　 解析：因为MO⊥平面ABCD，ON平面ABCD，所以MO⊥ON.所以△MNO为直角三角形，所以当NO最短时，∠MNO取最大值，即NO⊥AB时，∠MNO取最大值．因为M，O分别固定在线段EF，AC的中点处，所以ON＝1，MN＝2. 2．(2023·潍坊模拟)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，若三棱柱ABC-A1B1C1的体积为32，则该三棱柱外接球表面积的最小值为 (　 ) A．12π B．24π C．48π D．96π 答案：C　 [典例导析] (2023·全国高三专题练习)[多选]已知如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球表面积为12π，点P在正方体的对角面BDD1B1内(包括边界)，则下列说法正确的是 (　 ) 命题点二　动态问题 [答案]　ABD 因为B1P平面BDD1B1，记A1C1交B1D1于点O1，连接DO1，如图1所示，则平面A1C1D∩平面BDD1B1＝DO1，所以B1P∥DO1.记线段BD的中点为O，连接B1O.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面A1C1D∥平面ACB1， 再结合点P在正方体的对角面BDD1B1内，可知点P的轨迹为平面ACB1与平面BDD1B1的交线，也就是线段B1O(除去点B1)，显然在矩形BDD1B1中，B1P∥DO1，则点P的轨迹就是线段B1O(除去点B1)， 如图3所示．由正方体的性质可得A1C1⊥平面BDD1B1，所以A1C1⊥PH.因为PH⊥B1D1，A1C1，B1D1平面A1B1C1D1，A1C1∩B1D1＝O1，所以PH⊥平面A1B1C1D1.故点P到平面A1B1C1D1的距离就是点P到直线 B1D1的距离．所以点P到直线B1D1的距离与到点B的距离相等，由抛物线的定义可知P的轨迹是以B为焦点，直线B1D1为准线的抛物线的一段(在四边形BDD1B1内，包含边界)，故C不正确； 由正方体的性质可得A1C1⊥平面BDD1B1，连接P