第三板块 大题考法精研(一)——空间向量与空间角、距离（课件PPT）-【新高考方案】2024年高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

大题考法精研(一) ——空间向量与空间角、距离 章节标题内容1 Use "Title Only" Layout 1 1 2 目 录 3 题型一　直线与平面所成的角 题型二　二面角 题型三　空间距离 2 [例1]　如图，在多面体ABCDE中，DE⊥平面BCD，△ABC为正三角形，△BCD为等腰 题型一　直线与平面所成的角 (1)求证AE⊥BC； (2)若AE∥平面BCD，求直线BE与平面ABC所成的线面角的正弦值． [解]　(1)证明：设F为BC的中点，连接AF，EF，则由△ABC为正三角形，得AF⊥BC.由DE⊥平面BCD，且△BCD为等腰直角三角形，计算可得BE＝CE＝2，∴EF⊥BC.又EF∩AF＝F，EF，AF平面AEF，∴BC⊥平面AEF.∵AE平面AEF，∴BC⊥AE. (2)法一：由(1)可知，过点E作EH⊥AF，垂足为点H，连接BH，则∠EBH就是直线BE与平面ABC所成的线面角．当AE∥平面BCD时， [思维建模] 1．用向量法破解此类线面所成角问题的关键 (1)用定理，利用平行或垂直的判定定理，明确写出所证明的推理过程，注意推理的严谨性； (2)建系，找出(或作出)两两垂直的三条直线，建立适当的空间直角坐标系； (3)求向量，先分别求出几何体相关点的坐标，利用“终减起”，求出直线的方向向量，利用赋值法求出平面的法向量等； (4)用公式，求两法向量的夹角的余弦值； (5)得结论，根据向量夹角与线面角的关系，将向量夹角转化为所求的空间线面角． 2．用几何法破解此类线面所成角问题的关键 (1)会转化，即把线面所成角问题转化为求点面距离d问题与斜线段长m的问题； (2)求距离，常利用等体积法、等面积法等，求d； [针对训练] 1．(2023·百师联盟开学考)如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形A1ADD1为矩形，且平面A1ADD1⊥平面ABCD，AB∥CD，AB＝AD＝A1A (1)证明：ME∥平面DCC1D1； (2)求AE与平面B1BCC1所成的角的正弦值． 所以四边形MHPE为平行四边形． 所以ME∥PH.又PH∥CD，所以ME∥CD. 因为CD平面DCC1D1，ME平面DCC1D1， 所以ME∥平面DCC1D1. (2)因为四边形A1ADD1为矩形，所以DD1⊥AD. 因为平面A1ADD1⊥平面ABCD，且平面A1ADD1∩平面ABCD＝AD， 所以D1D⊥平面ABCD，故D1D⊥CD. 2.如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面PAC⊥平面ABC，△PAC中，PA＝PC＝AC＝2，BC＝4，E，F分别是PC，PB的中点． (1)求证：BC⊥平面PAC； (2)记平面AEF与平面ABC的交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线PQ与平面AEF所成角的取值范围． 解：(1)证明：∵C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，∴BC⊥AC. 又平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC＝AC，BC平面ABC，∴BC⊥平面PAC. (2)由E，F分别是PC，PB的中点，∴BC∥EF. 又EF平面AEF，BC平面AEF，∴BC∥平面AEF.又BC平面ABC，平面AEF∩平面ABC＝l，∴BC∥l. 题型二　二面角 (1)当AB⊥PC时，证明：AC⊥PB； (2)当三棱锥P-ABC体积最大值时，求平面PAC与平面PBC夹角的余弦值． [解]　(1)证明：由于PA为圆柱的母线，所以PA⊥平面ABC，AB平面ABC，可得PA⊥AB. 由已知AB⊥PC，且PA平面PAC，PC平面PAC，PA∩PC＝P，所以AB⊥平面PAC. 因为AC平面PAC，所以AB⊥AC. 因为PA⊥平面ABC，AC平面ABC， 所以PA⊥AC，且PA平面PAB，AB平面PAB，PA∩AB＝A，所以AC⊥平面PAB，且PB平面PAB，所以AC⊥PB. (2)当三棱锥P-ABC体积最大值时，即△ABC的面积取得最大值，设△ABC的三边为a，b，c， [思维建模] 1．求二面角大小的基本方法 找法向量法 分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小 找与棱垂直的方向向量法 分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小 2.两个平面夹角的向量求法 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是两个平面的夹角，用坐标法解题的步骤如下： (1)建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系； (2)求法向量：在建立的坐标系下求两个平面的法向量n1，n2； [针对训练] 3．(2023·新课标Ⅰ卷)如图，在正四棱柱