第三板块 大题考法精研(二)——空间中的翻折与探索性问题（课件PPT）-【新高考方案】2024年高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

大题考法精研(二) ——空间中的翻折与探索性问题 章节标题内容1 Use "Title Only" Layout 1 1 2 目 录 题型一　空间中的翻折问题 题型二　空间中的探索性问题 2 [例1]　图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°，将其沿AB，BC折起，使得BE与BF重合，连接DG，如图2. (1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE. (2)求图2中的二面角B-CG-A的大小． 题型一　空间中的翻折问题 [关键点拨] [解]　(1)证明：由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，故AB⊥平面BCGE.又因为AB平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE. (2)作EH⊥BC，垂足为H.因为EH平面BCGE，平面BCGE⊥平面ABC，平面BCGE∩平面ABC＝BC，所以EH⊥平面ABC.由菱形 [思维建模] 在翻折背景下判断或证明线面平行或垂直关系，或计算表面积、体积、点面距、线面角等问题的关键步骤： [针对训练] 1．(2023·长春三模)如图，平面五边形ABCDE中，△ADE是边长为2的等边三角形，CD∥AE，CD＝AE，∠BAD＝∠ABC (1)证明：PC⊥BC； (2)若PC＝3，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值． 解：(1)证明：在平面图形中取AD中点O，连接OC，OE， ∵△ADE是边长为2的等边三角形， ∴OE⊥AD，OD＝1，故翻折后有OP⊥AD. 由OP∩OC＝O，OP，OC平面POC， 故AD⊥平面POC， ∴BC⊥平面POC，又PC平面POC， ∴BC⊥PC. (2)在平面POC内作OM⊥OC，交PC于点M，由AD⊥平面POC，OM平面POC， 所以AD⊥OM，故AD，OM，OC两两垂直． 以O为原点，OA，OC，OM所在直线分别 为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 由(1)得，四边形OABC为矩形， 考法1　位置关系中的探索性问题 [例2]　如图，在四棱锥P-ABCD中，CD⊥平面PAD，△PAD为等边三角形，AD∥BC，AD＝CD＝2BC＝2，E，F分别为棱PD，PB的中点． (1)求证：AE⊥平面PCD； 题型二　空间中的探索性问题 (2)求平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值； [解]　(1)证明：∵CD⊥平面PAD，AE平面PAD，∴CD⊥AE. ∵△PAD为等边三角形，E为PD的中点， ∴AE⊥PD. ∵CD∩PD＝D，CD平面PCD，PD平面PCD，∴AE⊥平面PCD. (2)取AD的中点O，连接OP，OB，∵CD⊥平面PAD，CD平面ABCD，AD平面PAD， ∴平面PAD⊥平面ABCD，CD⊥AD. ∵O为AD的中点，△PAD为等边三角形，∴PO⊥AD，AD＝2OD. ∵平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO平面PAD，∴PO⊥平面ABCD. ∵AD＝2OD＝2BC，AD∥BC，CD⊥AD， ∴四边形OBCD为矩形，AD⊥OB. 如图，以O为原点，分别以OA，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， ∵CD⊥平面PAD， ∴m＝(0,1,0)可以作为平面PAD的一个法向量． 设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)， 考法2　与空间角有关的探索性问题 [例3]　如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面AA1C1C为菱形，点A1在底面上的投影为AC的中点D，且AB＝2. (1)若M，N分别为棱AB，B1C1的中点，求证：B1M∥平面CDN； (2)求点C到侧面AA1B1B的距离； [解]　(1)证明：连接MD， ∵M为AB的中点，D为AC的中点， ∴MD∥BC且2MD＝BC. ∵N为B1C1的中点，则在三棱柱ABC-A1B1C1中， B1N∥BC且2B1N＝BC， ∴MD∥B1N且MD＝B1N， ∴四边形B1NDM为平行四边形， ∴B1M∥ND. ∵ND平面CDN，且B1M平面CDN， ∴B1M∥平面CDN. (2)∵点A1在底面上的投影为AC的中点D， ∴A1D⊥平面ABC，∴A1D⊥AC且A1D⊥BD. ∵底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形， ∴BD⊥AC. ∵侧面AA1C1C为菱形，且A1D⊥AC，D为AC的中点，∴A1C＝A1A＝AC. 以点D为坐标原点，直线DB，DC，DA1分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设平面AA1B1B的法向量为n＝(x，y，z)， [思维建模] 探索性问题的类型及解题策略 (1)类型 一是与空间平行、垂直有关