第三板块 创新应用考法——从宽度、深度、开放度上激活思维（课件PPT）-【新高考方案】2024年高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

创新应用考法 ——从宽度、深度、开放度上激活思维 章节标题内容1 Use "Title Only" Layout 1 一、命题“宽度”上——注重横向多元拓展 ■关联点：立体几何＋数列 1.刻漏是中国古代用来计时的仪器，利用附有刻度的浮箭随着受水壶的水面上升来指示时间．为了使受水壶得到均匀水流，古代的科学家们发明了一种三级漏壶，壶形都为正四棱台，自上而下，三个漏壶的上口宽依次递减1寸(约3.3厘米)，下底宽和深度也依次递减1寸．设三个漏壶的侧面与底面所成锐二面角依次为θ1，θ2，θ3，则 (　 ) A．θ1＋θ3＝2θ2 B．sin θ1＋sin θ3＝2sin θ2 C．cos θ1＋cos θ3＝2cos θ2 D．tan θ1＋tan θ3＝2tan θ2 答案：D　 解析：如图，在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，F是棱AB的中点，连接OF，过棱A1B1的中点E作EG⊥OF，垂足为G，则∠GFE就是漏壶的侧面与底面所成锐二面角的一个平面角，记为θ，设漏壶上口宽为a，下底宽为b，高为h，在Rt△EFG中， 列，下底宽也成等差数列，所以a－b为定值．又因为三个漏壶的高h成等差数列，所以2tan θ2＝tan θ1＋tan θ3. ■关联点：立体几何＋余弦定理＋三角形面积公式 2．在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AA1＝3，E是BC的中点，F是棱CC1上的点，且CF 答案：A　 ■关联点：立体几何＋基本不等式 3．已知三棱锥P-ABC的顶点都在以PC为直径的球M的球面上，PA⊥BC.若球M的表面积为48π，PA＝4，则三棱锥P－ABC的体积的最大值为 (　 ) 答案：B　 解析：因为三棱锥P-ABC的顶点都在以PC为直径的球M的球面上，所以PA⊥AC，PB⊥BC.又PA⊥BC，AC∩BC＝C，AC，BC平面ABC，故PA⊥平面ABC.又PA∩PB＝P，PA，PB平面PAB，故BC⊥平面PAB.又AB平面PAB，故BC⊥AB.球M的表面积为48π，设球的半径为R，则4πR2＝48π， ■关联点：立体几何＋概率 4.如图，ABCDEF-A′B′C′D′ E′F′为正六棱柱，若从该正六棱柱的6个侧面的12条面对角线中，随机选取两条，则它们共面的概率是_______. 解析：由题意知，若两条对角线在同一个侧面，因为有6个侧面，所以共有6组； 若相交且交点在正六棱柱的顶点上，因为有12个顶点，所以共有12组； 若相交且交点在对角线延长线上时，如图所示，连接AD，C′D，E′D，AB′，AF′， 先考虑下底面，根据正六边形性质可知EF∥AD∥BC，所以E′F′∥AD∥B′C′，且B′C′＝E′F′≠AD，故AD， C′B′共面，且AD，E′F′共面，故AF′，DE′相交，且C′D，AB′相交，故共有2组，即正六边形对角线AD所对应的有2组共面的面对角线．同理可知正六边形对角线BE，CF所对的分别有两组，共6组．故对于上底面对角线A′D′，B′E′，C′F′同样各有两组，共6组；若对面平行，一组对面中有2组对角线平行， 二、命题“深度”上——强化纵向高次延伸 ■延伸链：等体积法求高→线面平行的判定→P的轨迹→线面垂直求距离 答案：D　 设三棱锥B1-A1BD的高为h， ∥CD，且A1B1＝CD，则四边形A1B1CD为平行四边形，则A1D∥B1C，又A1D平面A1BD，B1C平面A1BD，所以B1C∥平面A1BD，即点P的轨迹为线段B1C，因为CD⊥平面BB1C1C，B1C平面BB1C1C，所以CD⊥B1C，在Rt△B1CD中，D，P两点间距 ■延伸链：正四棱台的几何特征→点、线、面位置关系→二面角 2.如图为延安革命纪念馆陈列的呈正四棱台的木盒子，它是以前计量粮食用的斗，其四周和底部五面合围，上部开口的中间有一斗柄，作为手提之用．该正四棱台下底面边长为38厘米，上底面边长为32厘米，侧棱长为23厘米，则斗的侧面与底面夹角的余弦值为(　 ) 答案：A　 解析：如图，在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，设上、下底面的中心为O1，O，设B1C1，BC的中点分别为E，H，连接EH，O1E，OH，OO1，作EF⊥OH， 垂足为点F，由于侧面BB1C1C为等腰梯形，故EH⊥BC，而OH⊥BC，且O1E∥OH，EH∩OH＝H，EH，OH平面OHEO1， 故BC⊥平面OHEO1，EH平面BB1C1C，OH平面ABCD，则∠EHF即为平面BB1C1C与底面ABCD所成二面角的平面角，即∠EHF即为斗的侧面与底面的夹角．由题意可知O1E＝16，OH＝19，∴FH＝19－16＝3，在等腰梯形BCC1B1中，BB1＝23,则EH＝