第六板块 小题压轴考法(一)——函数的图象与性质（课件PPT）-【新高考方案】2024年高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

小题压轴考法(一) ——函数的图象与性质 章节标题内容1 Use "Title Only" Layout 1 1 2 目 录 命题点一　函数的性质及其应用 命题点二 　函数的零点及其应用 2 [典例导析] 考法1　函数的单调性与奇偶性 [例1]　(2023·九江二模)定义在R上的奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(－1)＝0，则关于x的不等式xf(x)<0的解集为 (　 ) A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(0,1) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(1，＋∞) [答案]　A 命题点一　函数的性质及其应用 [解析]　因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－∞，0)上单调递增，且f(0)＝0，f(1)＝0，可画出其大致图象，如图所示．因为xf(x)<0，所以当x>0时，f(x)<0，解得0<x<1，当x<0时，f(x)>0，解得－1<x<0. 当x＝0时，显然不合题意．所以不等式xf(x)<0的解集为(－1,0)∪(0,1)，故选A. [答案]　D [解析]　因为奇函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，所以f(0)＝0，且f′(x)≥0.又因为g(x)＝xf(x)，所以当x＝0时，g(0)＝0. 所以g(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数． 当x>0时，因为g′(x)＝f(x)＋xf′(x)>0，所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增． 根据函数的奇偶性可知，函数g(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． [思维建模]　奇偶性与单调性的综合应用 比较函数值的大小 先利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小 求解抽象函数不等式 对于抽象函数不等式，应先变形为f(x1)＞f(x2)的形式，再结合单调性，脱去“f”变成常规不等式，如x1＞x2(或x1＜x2)求解．如果函数f(x)是偶函数，则由f(x1)＞f(x2)可得|x1|＞|x2|(或|x1|＜|x2|) 考法2　函数的奇偶性、周期性与对称性 [例3]　已知函数f(x)与g(x)的定义域均为R，f(x＋1)为偶函数，且f(3－x)＋g(x)＝1，f(x)－g(1－x)＝1，则下面判断错误的是 (　 ) A．f(x)的图象关于点(2,1)中心对称 B．f(x)与g(x)均为周期为4的周期函数 [关键点拨] [答案]　C [解析]　因为f(x＋1)为偶函数，所以f(x＋1)＝f(－x＋1)　①，所以f(x)的图象关于直线x＝1轴对称．因为f(x)－g(1－x)＝1等价于f(1－x)－g(x)＝1　②，又f(3－x)＋g(x)＝1　③，②＋③得f(1－x)＋f(3－x)＝2　④，即f(1＋x)＋f(3＋x)＝2，即f(2＋x)＝2－f(x)，所以f(4＋x)＝2－f(2＋x)＝f(x)，故f(x)的周期为4.又g(x)＝1－f(3－x)，所以g(x)的周期也为4，故B正确； ①代入④得f(1＋x)＋f(3－x)＝2，故f(x)的图象关于点(2,1)中心对称，且f(2)＝1，故A正确； [思维建模]　解决抽象函数问题常用的结论 结论2 函数y＝f(x)关于点(a，b)对称f(a＋x)＋f(a－x)＝2bf(2a＋x)＋f(－x)＝2b 特例 ①函数y＝f(x)关于点(a,0)对称f(a＋x)＋f(a－x)＝0f(2a＋x)＋f(－x)＝ 0；②函数y＝f(x)关于点(0,0)对称f(x)＋f(－x)＝0(即为奇函数) 结论3 ①y＝f(x＋a)是偶函数函数y＝f(x)关于直线x＝a对称； ②y＝f(x＋a)是奇函数函数y＝f(x)关于(a,0)对称 续表 [针对训练] 1．(2023·新课标Ⅰ卷)[多选]已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，则 (　 ) A．f(0)＝0 B．f(1)＝0 C．f(x)是偶函数 D．x＝0为f(x)的极小值点 答案：ABC　 解析：取x＝y＝0，则f(0)＝0，故A正确； 取x＝y＝1，则f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0，故B正确； 取x＝y＝－1，则f(1)＝f(－1)＋f(－1)，所以f(－1)＝0，取y＝－1，则f(－x)＝f(x)＋x2f(－1)，所以f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，故C正确； 由于f(0)＝0，且函数f(x)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于y轴对称，所以x＝0可能为函数f(x)的极小值点，也可能为函数f(x)的极大值点，也可能不是函数f(x)的极值点，故D不正确．故选A、B、C. 2．[多选]已知函数f(x)定义域为R，f(x＋1)是奇函数，g(x)＝(1－