第六板块 小题压轴考法(二)——导数的简单应用（课件PPT）-【新高考方案】2024年高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

小题压轴考法(二) ——导数的简单应用 章节标题内容1 Use "Title Only" Layout 1 1 2 目 录 3 命题点一　导数的几何意义 命题点二　利用导数研究函数的单调性 命题点三　利用导数研究函数的极值、最值 2 命题点一　导数的几何意义 [答案]　D [思维建模] (1)求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解． (2)利用导数的几何意义，构造参数关于切点横坐标或切线斜率k的函数，转化成函数的零点问题或两函数的交点问题，利用函数的性质或图象求解． 解析：由函数y＝ex－2＋1，可得y′＝ex－2， 设切点坐标为(t，et－2＋1)，可得切线方程为y－(et－2＋1)＝et－2(x－t)． 把原点(0,0)代入方程，可得0－(et－2＋1)＝et－2(0－t)，即(t－1)et－2＝1，解得t＝2，所以切线方程为y－(e0＋1)＝e0(x－2)，即y＝x. 答案：D　 解析：由题意，y＝x2在点(m，m2)的切线斜率为2m， [典例导析] [例3]　(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝aex－ln x在区间(1,2)单调递增，则a的最小值为 (　 ) A．e2 B．e C．e－1 D．e－2 [答案]　C 命题点二　利用导数研究函数的单调性 [关键点拨] [思维建模] 1．根据函数单调性求参数的一般思路 (1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集． (2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且在(a，b)内的任一非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解． 2．利用导数解不等式或比较大小的思路 利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，再由单调性比较大小或解不等式问题． [针对训练] 3．若函数f(x)＝(x＋a)ex在区间(0，＋∞)上不单调，则实数a的取值范围是 (　 ) A．(－∞，－1) B．(－∞，0) C．(－1,0) D．[－1，＋∞) 答案：A　 解析：f′(x)＝ex(x＋a＋1)，由题意，知方程ex(x＋a＋1)＝0在(0，＋∞)上至少有一个实数根，即x＝－a－1>0，解得a<－1. 5．(2023·全国乙卷)设a∈(0,1)，若函数f(x)＝ax＋(1＋a)x在(0，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是________． 命题点三　利用导数研究函数的极值、最值 答案：B　 基本方略： 1．利用导数研究函数的极值应注意的问题 (1)不能忽略函数f(x)的定义域． (2)f′(x0)＝0是可导函数在x＝x0处取得极值的必要不充分条件． (3)函数的极小值不一定比极大值小． (4)函数在区间(a，b)上有唯一极值点，则这个极大(小)值点也是最大(小)值点． 2．根据函数的极值(点)求参数的两个要领 (1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解； (2)验证：求解后验证根的合理性． 答案：B　 [升维2]　若函数f(x)＝(x－1)2＋aln x有两个极值点x1，x2，且x1<x2，则f(x2)的取值范围为 (　 ) 答案：A　 [登顶高考] [例5]　(2022·全国乙卷)已知x＝x1和x＝x2分别是函数f(x)＝2ax－ex2(a>0且a≠1)的极小值点和极大值点．若x1<x2，则a的取值范围是________． [解析]　法一　最优解：转化法，零点的问题转为函数图象的交点 因为f′(x)＝2ln a·ax－2ex，所以方程2ln a·ax－2ex＝0的两个根为x1，x2， 即方程ln a·ax＝ex的两个根为x1，x2， 即函数y＝ln a·ax与函数y＝ex的图象有两个不同的交点，因为x1，x2分别是函数f(x)＝2ax－ex2的极小值点和 极大值点，所以函数f(x)在(－∞，x1)和(x2，＋∞)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增，所以当x∈(－∞，x1)∪(x2，＋∞)时，f′(x)<0，即y＝ex图象在y＝ln a·ax上方，当x∈(x1，x2)时，f′(x)>0， 即y＝ex图象在y＝ln a·ax下方， a>1显然不符合题意，所以0<a<1. 令g(x)＝ln a·ax， 则g′(x)＝(ln a)2·ax,0<a<1， 法二　通性通法：构造新函数，二次求导 f′(x)＝