第六板块 大题考法精研(一)——导数与不等式的证明（课件PPT）-【新高考方案】2024年高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

大题考法精研(一) ——导数与不等式的证明 章节标题内容1 Use "Title Only" Layout 1 [标杆题] 设函数f(x)＝ln(a－x)－x＋e. (1)求函数f(x)的单调区间； [内化基本解题思维] 1．证明函数不等式f(x)>g(x)的常用的方法 构造差函数法 构造差函数F(x)＝f(x)－g(x)，求导函数F′(x)，判断函数单调性，从而得函数最值，让最值与0比较大小即可得答案 分离函数法 确定中间函数h(x)，利用导数分别证明f(x)>h(x)，h(x)>g(x)，即可证明结论 放缩法 利用不等式对所证不等式进行放缩，证明放缩后的不等式成立，即可得结论 2．求最值的几种情形 (1)直接求得f(x)的最值，且最值是一个具体的实数； (2)求得f(x)的最值，且最值是一个含有参数的代数式，再说明该代数式的最值大于0(小于0)； (3)通过隐零点求得f(x)的最值，再说明含有隐零点的最值表达式大于0(小于0)． [演进题1] (2023·潍坊一模)已知函数f(x)＝ex－1ln x，g(x)＝x2－x. (1)讨论f(x)的单调性； (2)证明：当x∈(0,2)时，f(x)≤g(x)． 逐级演进·练清悟通 [规范解答]　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， [演进题2] 已知函数f(x)＝4(x－1)－2xln x. (1)若函数g(x)＝f(x)－m存在零点，求实数m的取值范围． [规范解答]　(1)函数g(x)＝f(x)－m存在零点，即函数f(x)的图象与直线y＝m有交点． 由题意得函数f(x)＝4(x－1)－2xln x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝4－2(1＋ln x)＝－2ln x＋2.令－2ln x＋2＝0，解得x＝e. 当x∈(0，e)时，f′(x)>0，f(x)在(0，e)上单调递增；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)在(e，＋∞)上单调递减． 所以f(x)的最大值为f(e)＝4(e－1)－2eln e＝2e－4，且f(e2)＝－4<0. 即当x→＋∞时，f(x)→－∞， 故m≤2e－4. 所以实数m的取值范围是(－∞，2e－4]． (2)证明：由于f(1)＝0，由(1)知f(x)在(0，e)上单调递增， 故当0<x≤1时，f(x)≤f(1)＝0，即f(x)＝4x－4－2xln x≤0，得2x－xln x≤2. 当且仅当n＝1时等号成立． 在证明不等式时，若直接证明比较困难，可将不等式中的部分项进行放大或缩小，然后证明放缩后的不等式成立，再根据不等式的传递性证明原不等式成立．常用的放缩技巧有： (1)ex≥x＋1；(2)ex－1≥x；(3)ln x≤x－1； (4)ln(x＋1)≤x；(5)x≥sin x(x≥0)等． [演进题3] 已知函数f(x)＝x－ln x，g(x)＝aex. (1)求函数f(x)的单调区间； 当x∈(0,1)时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0. 所以f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，＋∞)． 于是，当x∈(0,1)时，h′(x)>0，h(x)单调递增；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0，h(x)单调递减． 思维变通升华 如果作表，研究函数y＝xf(x)－g(x)的单调性比较复杂，对于参数已知或参数范围已知的不等式，可分离参数后构造函数，再用导数来研究所构造函数的数值，进而证明不等式成立．本题也可以先 [规范解答]　(1)存在x1，x2∈[0,2]，使得g(x1)－g(x2)≥M成立，即存在x1，x2∈[0,2]， 使得[g(x1)－g(x2)]max≥M，即g(x)max－g(x)min≥M(x∈[0,2])． 又g(0)＝－3，g(2)＝1， 所以当x∈[0,2]时，g(x)max＝g(2)＝1， 思维变通升华 双变量不等式恒(能)成立问题的转化方法 问题描述 等价转化 语言描述 x1∈M，x2∈N，f(x1)<g(x2) f(x1)max< g(x2)min 函数f(x)在区间M上的任意函数值都小于函数g(x)在区间N上的任意函数值 x1∈M，x2∈N，f(x1)<g(x2) f(x1)max< g(x2)max 函数g(x)在区间N上的某个函数值大于函数f(x)在区间M上的所有函数值 x1∈M，x2∈N，f(x1)<g(x2) f(x1)min<g(x2)min 函数f(x)在区间M上的某个函数值小于函数g(x)在区间N上的所有函数值 x1∈M，x2∈N，f(x1)<g(x2) f(x1)min<g(x2)max 函数f(x)在区间M上的某个函数值小于函数g(x)在区间N上的某个函数值 续表 (2)当a＝e时，证明：f(e－x)<ex＋.　　 当x>