第六板块 大题考法精研(二)——导数与不等式的恒(能)成立问题（课件PPT）-【新高考方案】2024年高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

大题考法精研(二) ——导数与不等式的恒(能)成立问题 章节标题内容1 Use "Title Only" Layout 1 (1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若对任意的x∈[e－1，e]都有f(x)≥－1，求实数a的取值范围．　　 法二 分离参数法： [内化基本解题思维] 由不等式恒成立求参数的取值范围常用的3种方法 ①分离参数法：将参数分离出来，进而转化为a>f(x)max或a<f(x)min 的形式，通过导数的应用求出f(x)的最值，即得参数的范围． ②讨论分析法:根据参数的取值情况分类讨论． ③数形结合法:将不等式转化为两个函数,通过两函数的图象求解． [提醒]不等式有解的问题可类比恒成立问题进行转化，要理解清楚两类问题的差别. [演进题1] (2023·成都模拟)已知函数f(x)＝ln x－ax2＋x＋ln a(a>0)． (1)当a＝1时，求f(x)的最大值； (2)若x∈[1，＋∞)，f(x)≤0，求a的取值范围． 逐级演进·练清悟通 当x∈(0,1)时，f′(x)>0； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0， 所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 所以f(x)max＝f(1)＝0. 易知f′(x)在(0，＋∞)上单调递减． ①由(1)可知，当a＝1时，f(x)≤0，符合题意． 故g(a)在(1，＋∞)上单调递减， 所以g(a)<g(1)＝0，故f(x)<0，符合题意． 综上所述，a的取值范围是[1，＋∞)． 思维变通升华 把不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题是最基本的方法，一般要涉及分类讨论，其关键是确定分类讨论的标准，如本题，首先注意到a＝1符合题意，然后分0<a<1与a>1讨论． ∵x>0，∴ex－1>0. ∴x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增． ∴f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，＋∞)． ∴φ(x)在(1，＋∞)上单调递增． ∵φ(e)＝e－3<0，φ(e2)＝e2－4>0， ∴φ(x)在(e，e2)内存在唯一x0，使得φ(x0)＝0，即ln x0＝x0－2. ∴当x∈(1，x0)时，φ(x)<0，即g′(x)<0，g(x)单调递减； 当x∈(x0，＋∞)时，φ(x)>0，即g′(x)>0，g(x)单调递增． 思维变通升华 对于恒成立问题，分离参数法的关键点 (1)分离参数时，注意不等式的方向是否改变． (2)分离参数后，需构造新函数．通过借助导函数，求出新构造函数的最大(小) 值，往往涉及到二次求导．如本题先确定函数f(x)的定义域，求f(x)的导数f′(x)，再化简所给不等式→分离参数→形成新的不等式，构造新的函数g(x)，求g(x)的单调区间，然后求g(x)的最小值g(x)min，最后得到a≤g(x)min. [演进题3] (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)已知λ>0，若存在x∈(1，＋∞)时，不等式λx2－λx≥(eλx－1) ln x成立，求λ的取值范围． [规范解答]　(1)y＝f(x)的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)． 所以函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． 又因为g(1)＝0，所以当x∈(0,1)∪(1，＋∞)时，g(x)<0，即f′(x)<0， 所以函数f(x)在(0,1)，(1，＋∞)上均单调递减． (2)因为λx2－λx≥(eλx－1)ln x， 所以(x－1)ln eλx≥(eλx－1)ln x. 思维变通升华 利用导数解决不等式存在性问题的方法技巧 根据条件将问题转化为某函数在该区间上最大(小)值满足的不等式成立问题，进而用导数求该函数在该区间上的最值问题，最后构建不等式求解． [演进题4] (1)当a＝1时，求函数f(x)的单调区间； (2)若对于任意的x1∈(0,2]，都存在x2∈[1,2]，使得x1f(x1)≥g(x2)成立，试求实数a的取值范围． 所以当0<x<1时，f′(x)<0，函数f(x)在(0,1)上单调递减；当x>1时，f′(x)>0，函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增．所以f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)． (2)因为g(x)＝x3－x2，所以g′(x)＝3x2－2x＝x(3x－2)． 又x∈[1,2]，所以g′(x)>0，故函数g(x)在[1,2]上单调递增，所以g(x)min＝g(1)＝0. 思维变通升华 解决本题的关键是利用导数求出g(x)，x∈[1,2]的最小值，问题转化为不等式恒成立，再用分离参数法分离参数后转化为求函数的最大值． 在含有全称量词与存在量词的命题中注意问题的转化 (1)对于任意的x1∈A，任