第二板块 小题压轴考法——数列的综合问题（课件PPT）-【新高考方案】2024年高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

小题压轴考法 ——数列的综合问题 章节标题内容1 Use "Title Only" Layout 1 1 2 目 录 3 命题点一　构造辅助数列 命题点二　数列的奇偶项问题 命题点三　数列的新情境问题 2 [升维突破] 教材母题 (人教A版选择性必修二P41T8)若数列{an}的首项a1＝1，且满足an＋1＝2an＋1，则数列{an}的通项公式为________；前10项的和为________． 答案：an＝2n－1　2 036 命题点一　构造辅助数列 解析：设an＋1＋λ＝2(an＋λ)，则an＋1＝2an＋λ，∴λ＝1，即an＋1＋1＝2(an＋1)．又a1＋1＝2，∴数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴an＋1＝2×2n－1＝2n，即an＝2n－1. 基本方略：形如an＋1＝αan＋β(α≠0,1，β≠0)的递推公式，可用构造法求通项公式．构造法的基本原理是在递推关系的两边加上相同的数或相同性质的量，构造数列的每一项都加上相同的数或相同性质的量，使之成为等差数列或等比数列． [升维1]　已知正项数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3×5n，则数列{an}的通项公式为 (　 ) A．an＝－3×2n－1 B．an＝3×2n－1 C．an＝5n＋3×2n－1 D．an＝5n－3×2n－1 答案：D　 答案：C　 思维升华：非零常数数列既是公比为1的等比数列，也是公差为零的等差数列．在数列{an}中，若对任意的正整数n都有an＋1＝an，则数列{an}为常数数列，其通项公式为an＝a1.在求某些递推数列的通项公式时，若能构造出一个新的常数数列，便能简捷地求出通项公式．如本例通过变形，两边乘以(n＋1)后成为常数数列求解． 答案：C　 2．已知数列{an}中，a1＝2,2n(n＋1)anan＋1＋(n＋1)·an＋1－nan＝0(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________． 3．若数列{an}满足(n－1)an＝(n＋1)an－1，n≥2，n∈N*，且a1＝1，则a5＝________. 答案：15 [典例导析] (1)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝4，an＋an＋1＝4n＋2(n∈N*)，则使得Sn>2 023成立的n的最小值为 ( ) A．32 B．33 C．44 D．45 命题点二　数列的奇偶项问题 [答案]　(1)D　(2)4×3n－4n－4 [解析]　(1)an＋an＋1＝4n＋2　①， 当n≥2时，an－1＋an＝4(n－1)＋2　②， 两式相减得an＋1－an－1＝4. 当n为奇数时，{an}为等差数列，首项为4，公差为4， 在an＋an＋1＝4n＋2中，令n＝1得a1＋a2＝6，故a2＝6－4＝2， 故当n为偶数时，{an}为等差数列，首项为2，公差为4， 所以当n为奇数时， 当n为偶数时， 当n为奇数时，令n2＋n＋2>2 023，解得n≥45， 当n为偶数时，令n2＋n>2 023，解得n≥46， 所以Sn>2 023成立的n的最小值为45. (2)当n为奇数时，an＋2＝3an＋1＝3(an＋2)，即an＋2＋3＝3(an＋3)，此时{an＋3}是以a1＋3＝4为首项，公比为3的等比数列， [思维建模] 数列中的奇偶项问题是对一个数列分成两个新数列进行单独研究，利用新数列的特征(等差、等比数列或其他特征)求解原数列的通项公式或前n项和，主要从奇偶项角度分析通项和求和．解决此类问题的难点在于搞清数列奇数项和偶数项的首项、项数、公差等，注意分类讨论思想在解题中的应用． 答案：C　 5．(2023·湖南模拟)已知非零数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，a2＝3，anan＋1＝2Sn＋2，则S10的值为________． 答案：65 解析：由anan＋1＝2Sn＋2得an＋2an＋1＝2Sn＋1＋2，故两式相减得an＋2an＋1－anan＋1＝2Sn＋1＋2－(2Sn＋2)＝2an＋1，所以an＋1(an＋2－an)＝ 2an＋1.由于{an}为非零数列，故an＋2－an＝2，所以{an}的奇数项成等差数列，偶数项也成等差数列，且公差均为2，所以S10＝(a2＋a4＋a6＋a8＋a10)＋(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)＝2×5＋ [典例导析] (2021·新课标Ⅰ卷)某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格为20 dm×12 dm的长方形纸，对折1次共可以得到10 dm×12 dm,20 dm×6 dm两种规格的图形，它们的面积之和S1＝240 dm2，对折2次共可以得到5 dm×12 dm，10 dm×6 dm,20 dm×3 dm三种规格的图形，它们的面积之和S2＝180 dm2