5.1.1任意角讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

任意角 一、主要概念、定理、公式及规律 1．主要概念 （1）一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有做任何旋转，称它形成了一个零角．这样，我们就把角的概念推广到了任意角． （2）将角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，就称这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，那么这个角不属于任何一个象限． 2．主要公式及规律 （1）终边相同的角的表示法：任意一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和，即． （2）象限角的集合表示法： 第一象限角的集合为； 第二象限角的集合为； 第三象限角的集合为； 第四象限角的集合为． （3）终边在坐标轴上的角： 终边在轴的非负半轴上的角的集合为 终边在轴的非正半轴上的角的集合为； 终边在轴上的角的集合为； 终边在轴的非负半轴上的角的集合为； 终边在轴的非正半轴上的角的集合为； 终边在轴上的角的集合为； 终边在坐标轴上的角的集合为． 典型例题 【类型一】象限角的判定 例1判定下列各角是第几象限角. (1); (2). 【类型二】终边相同的角的表示 例2 写出与终边相同的角的集合,并把中适合不等式一的元素写出来. 例3已知角的终边与角的终边关于轴对称,求. 类型三：象限角的表示 例4已知是第二象限角,则是第几象限角? 作业巩固 一、单选题 1．下列命题是（ ）． （A）终边相同的角一定相等 （B）第一象限角都是锐角 （C）锐角都是第一象限角 （D）小于的角都是锐角 2．与角终边相同的角的集合是（ ）． （A） （B） （C） （D） 3．已知集合，，则等于（ ）． （A） （B） （C） （D） 4．若是第一象限角，则是（ ）． （A）第一或第二象限角 （B）第三或第四象限角 （C）第三或第四象限角或终边落在轴的负半轴上的角 （D）第一或第二象限角或终边落在轴的正半轴上的角 5．已知角， 的终边相同，则的终边在（ ）． （A）轴的非负半轴上 （B）轴的非负半轴上 （C）轴的非正半轴上 （D）轴的非正半轴上 6．若是第一象限角，则是（ ）． （A）第一象限角 （B）第一或第四象限角 （C）第二或第三象限角 （D）第四象限角 二、多选题 7.下列命题不正确的是（    ） A．终边相同的角都相等 B．钝角比第三象限角小 C．互为相反的两个角关于轴对称 D．锐角都是第一象限角 8.下列说法中，正确的是（    ） A．是第四象限角 B．锐角一定是第一象限角 C．第二象限角大于第一象限的角 D．若角为第二象限角，那么为第一象限角 9.下列说法中正确的是（   ） A．锐角是第一象限角 B．第二象限角为钝角 C．小于的角一定为锐角 D．角与的终边关于轴对称 三、填空题 10．终边在直线上的角的集合为 ． 11．与的终边相同且绝对值最小的角是 ． 四、解答题 12．若角的终边所在直线过点，且，求角． 13．（1）如图，分别写出终边落在射线与射线上的角的集合； （2）如图，写出终边落在阴影部分（含边界）的角的集合． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 答案 【类型一】象限角的判定 例1判定下列各角是第几象限角. (1); (2). 解（1）因为一角终边在第四象限,所以它是第四象限角. (2)因为,所以与角的终边重合,而角的终边在第三象限,所以是第三象限角. 【注意】象限角的两种判断方法: （1）图象法：在平面直角坐标系中,作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角. （2）转化法：先将已知角化为)的形式,即找出与已知角终边相同的角,再由角终边所在的象限判断已知角是第几象限角. 【类型二】终边相同的角的表示 例2 写出与终边相同的角的集合,并把中适合不等式一的元素写出来. 解 ，因为, 所以，所以或因此,或 注意：先写出终边相同的角,一般写成的形式,再利用满足条件的不等式,对其中的赋值. 例3已知角的终边与角的终边关于轴对称,求. 解 因为,所以角的终边与角的终边相同.角关于轴对称的角可表示为,所以, 即. 注意：一般地,若角与角的终边关于轴对称，则;若角与角的终边关于轴对称,则;若角与角关于原点对称,则若角与角的终边在同一条直线上,则 类型三：象限角的表示 例4已知是第二象限角,则是第儿象限角? 解 因为为第二象限角，所以 所以. 当为偶数时,令,则，故为第一象限角; 当为奇数时,令,则，故为第三象限角. 所以为第一或第三象限角. 的终边落在如图所示的阴影部分的区域内. 作业巩固 一、单选题 1．下列命