3.3幂函数讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

幂函数 一、主要概念、定理、公式及规律 1.幂函数的概念：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数. 2.幂函数的性质： （1）所有的幂函数在上都有定义，并且图象都过点. （2）当时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数特别地，若，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸. （3）当时，幂函数的图象在区间上是减函数.在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右边无限地逼近轴正半轴，当趋向时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴. （4）当为奇数时，幂函数为奇函数；当为偶数时，幂函数为偶函数. 3.五种常见幂函数的性质，列表如下： 定义域 值域 奇偶性 单调性 过定点 奇 偶 奇 非奇 非偶 奇 典型例题 类型一 幂函数的定义与图象 例1 已知幂函数的图象过点，幂函数的图象过点. （1）求，的解析式； （2）求当为何值时：①；②；③. 例2 已知幂函数的图象过点. （1）试求出这个函数的解析式； （2）若，求的取值范围. 类型二 利用幂函数性质比较大小 例3 比较大小. （1），； （2），； （3），. 类型三 幂函数的综合应用 例4 已知幂函数. （1）试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性； （2）若该函数还经过点，试确定的值，并求满足条件的实数的取值范围. 作业巩固 一、单选题 1．在函数，，，中，幂函数的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．幂函数在上是减函数，则（ ） A． B． C． D．不能确定 3．下列命题正确的是（ ） A．当时，函数的图象是一条直线 B．幂函数的图象都经过点和 C．若幂函数是奇函数，则是定义域上的增函数 D．幂函数的图象不可能出现在第四象限 4．函数在区间上的最大值是（ ） A． B． C． D． 5．已知幂函数是定义在区间上的奇函数，则的值为（ ） A．8 B．4 C．2 D．1 6．已知幂函数的图象经过点，那么这个幂函数的解析式为 ． 二、多选题 7.下列函数中既是奇函数，又是定义域上的减函数的是（    ） A． B． C． D． 8.已知函数（为常数），则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象恒过定点 B．当时，函数是减函数 C．当时，函数是奇函数 D．当时，函数的值域为 9.下列说法不正确的是（    ） A．若函数的定义域为，则函数的定义域为 B．函数是减函数 C．函数的图象关于点成中心对称 D．幂函数在上为减函数，则的值为1或2 三、填空题 10．设，则使函数的定义域为且为奇函数的所有的值是 ． 11．记函数，，，则 ． 四、解答题 12．若幂函数在上是减函数，求的取值集合． 13．若，试求的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 答案 例1 已知幂函数的图象过点，幂函数的图象过点. （1）求，的解析式； （2）求当为何值时：①；②；③. 【解析】（1）设幂函数，因为图象过点，故， 解得，所以. 设，由于图象过点， 故，解得. 所以. （2）在同一坐标系下作出与的图象，如图3-22所示. 图3-22 由图象可知，，的图象均过点和. ①当，或时，； ②当，或时； ③当且时，. 注（1）幂函数的定义是形式定义，基本形式为，其中为常数，其本质特征是以幂的底为自变量，指数为常数而，等函数都不是幂函数. （2）对于，其中为有理数的幂函数图象，一般先求定义域，再根据规则作出第一象限部分的图象，其他象限若有图象，则不是奇函数就是偶函数，从而可以根据对称性求得. 例2 已知幂函数的图象过点. （1）试求出这个函数的解析式； （2）若，求的取值范围. 【解析】（1）设幂函数，因为，所以，故. （2）由，及的图象可得或，因此，实数的取值范围是或. 类型二 利用幂函数性质比较大小 例3 比较大小. （1），； （2），； （3），. 【解析】（1）函数是增函数，所以. （2），因为在上为增函数， 所以. （3）. 类型三 幂函数的综合应用 例4 已知幂函数. （1）试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性； （2）若该函数还经过点，试确定的值，并求满足条件的实数的取值范围. 【解析】（1），， 而与中必有一个为偶数， 所以为偶数. 所以函数的定义域为，