7.5 多边形的内角和与外角和 学案 2023-2024学年苏科版数学七年级下册

7.5多边形的内角和与外角和2 （外角和） 教学目的： 1.理解多边形的概念； 2.掌握多边形外角和公式； 3.灵活运用多边形外角和、公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力. 教学重难点： 1. 掌握多边形外角和的公式 2. 利用外角和公式求角或边 知识梳理 【知识点一】三角形的外角 （1）定义：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角 （2）结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相 邻的任何一个角。 （3）外角和：三角形的外角和为360°. 【知识点二】多边形的外角和 1. 多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角，叫做多边形的外角. 2. 多边形的外角和：在多边形的每个顶点处分别取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和，多边形的外角和恒等于360°，与边数的多少没有关系. 如图所示：∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5就是五边形ABCDE的外角和，为360°. 3. 正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于. 4. 多边形的外角和的推导：多边形的每个内角加上与它相邻的外角都等于180°，所以n边形的外角和等于n个180°的平角减去多边形的内角和，即. 典型例题 【例1】一个多边形的每个外角都是，则这个多边形的边数为　　 A．八 B．九 C．十 D．七 【例2】图1是一路灯的实物图，图2是该路灯的平面示意图，∠MAC＝50°，∠ACB＝20°，则图2中∠CBA的度数为（　　） A．15° B．20° C．30° D．50° 【例3】如图，小明从A点出发，沿直线前进10米后向左转36°，再沿直线前进10米，再向左转36°……照这样走下去，他第一次回到出发点A点时，一共走的路程是（　　） A．180米 B．110米 C．120米 D．100米 【例4】（1）如图1，已知任意△ABC，过点C作DE∥AB，求证：△ABC的三个内角（即∠A，∠B，∠ACB）之和等于180°； （2）如图2，求证：∠AGF＝∠AEF+∠F； （3）如图3，AB∥CD，∠CDE＝119°，GF交∠DEB的平分线于点F，∠AGF＝150°，求∠F的度数． 举一反三 题型一：三角形的外角性质 【变式1】如图，∠BCD是△ABC的一个外角，E是边AB上一点，连接CE，下列结论不一定正确的是（　　） A．∠BCD＞∠A B．∠BCD＞∠1 C．∠2＞∠3 D．∠BCD＝∠A+∠B 【变式2】把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠2＝134°，则∠1的度数为（　　） A．34° B．44° C．54° D．64° 【变式3】将一副直角三角板如图放置，使两直角边重合，则∠α的度数为（　　） A．75° B．105° C．135° D．165° 题型二：三角形外角平分线的运用 【变式1】如图，在四边形ABCD中，的角平分线与的外角平分线相交于点P，且，则___________． 【变式2】如图，△ABC的外角∠ACE和外角∠CAF的平分线交于点P，已知∠P＝70°，则∠B的度数为（　　） A．42° B．40° C．38° D．35° 【变式3】 如图，在△ABC中，∠A＝α，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，则∠A1＝　 　，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，∠A2021BC的平分线与∠A2021CD的平分线交于点A2022，得∠A2022，则∠A2022＝　 　． 题型三：多边形外角和的性质 【变式1】若正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的边数是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2】如图，直线l将正六边形ABCDEF分割成两个区域，且分别与AB、DE相交于P点、Q点．若∠APQ的外角为75°，则∠PQD的度数为（　　） A．75° B．85° C．95° D．105° 【变式3】如图，在由一个正六边形和正五边形组成的图形中，∠1的度数为（　　） A．72° B．82° C．84° D．94° 题型四：多边形外角和的综合运用 【变式1】如图所示，已知，正五边形的顶点、在射线上，顶点在射线上，则_____度． 【变式2】如图，AP，CP分别是四边形ABCD的外角∠DAM，∠DCN的平分线，设∠ABC＝α，∠APC＝β，则∠ADC的度数为（　　） A．180°﹣α﹣β B．α+β C．α+2β D．2α+β 【变式3】（1）如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，试说明：∠E∠A； 【拓展应用】 （2）如图2，在四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC． ①若∠ACD＝1