第三板块 层级2 微专题(一) 球的切、接问题与截面问题（课件PPT）-【新高考方案】2024年高考数学(文科)二轮复习专题增分方略（老教材）

微专题(一)　 球的切、接问题与截面问题 命题点(一)　几何体的内切球 命题点(二)　几何体的外接球 命题点(三)　截面问题 目 录 01 02 03 3 (1)内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等． (2)正多面体的内切球和外接球的球心重合． (3)正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合． 命题点(一)　几何体的内切球 [关键点拨] 切入点 求圆锥的内切球半径 迁移点 涉及与旋转体有关问题，想不到作出轴截面，借助平面几何知识求解 隐藏点 圆锥轴截面正三角形的内切圆是圆锥内切球的截面大圆 方法技巧 处理球的“切”问题的求解策略 与球有关的内切问题主要是指球内切于多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切于多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作． 针对训练 空间几何体的外接球是高中数学的重点、难点，也是高考命题的热点，一般通过对几何体的割补或寻找几何体外接球的球心两大策略解决此类问题. 命题点(二)　几何体的外接球 方法技巧 多面体的外接球的求解策略 涉及球与棱柱、棱锥的问题时，一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，确定球心的位置，弄清球的半径(或直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解． 针对训练 答案：C 4．已知三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱垂直于底面，且所有顶点都在同一个球面上，若AA1＝AC＝2，AB⊥BC，则此球的体积为________． [例3]　棱长为2的正四面体ABCD的外接球的球心为O，过点A，B，O的平面截四面体ABCD所得截面图形的面积为________． [关键点拨] 命题点(三)　截面问题 方法技巧 截面问题的解题关键 (1)弄清正方体和圆柱的基本截面，结合线、面平行的判定与性质定理与线、面垂直的判定与性质定理求几何体中截面问题； (2)建立函数模型求最值问题：①设元，②建立二次函数模型， ③求最值； (3)猜想法求最值问题：要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”：如正三角形、正六边形、正三棱锥等． 针对训练 答案：B (4)棱长为a的正方体内切球半径为. (5)棱长为a的正四面体内切球的半径r＝a，即高的. [例1]　(2023·徐州、淮安、宿迁、连云港模拟)已知一个棱长为a的正方体木块可以在一个圆锥形容器内任意转动，若圆锥的底面半径为2，母线长为4，则a的最大值为________． [解析]　正方体木块可以在一个圆锥形容器内任意转动，则当正 方体棱长a最大时，正方体的外接球恰为圆锥的内切球， 底面半径为2，母线长为4的圆锥轴截面正△SAB的内切圆O是该圆锥内切球O的截面大圆，如图， [答案]　 正△SAB的高SO′＝SA＝2，则内切圆O的半径即球半径R＝SO′＝，则a＝2R＝，解得a＝，所以a的最大值为. 1．已知△ABC中，AB＝4，BC＝3，AC＝5，以AC为轴旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为(　 ) A.π B.π C.π D.π 答案：B　 解析：旋转体的轴截面如图所示，其中O为内切球的球心，过O作AB，BC的垂线，垂足分别为E，F，则OE＝OF＝r(r为内切球的半径)，故AO＝＝r，CO＝＝r，故5＝AO＋OC＝r＋r，故r＝，故旋转体的内切球的表面积为4π×2＝π. 2.在《九章算术·商功》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，AB＝BC＝CD＝1，BC⊥CD，则鳖臑ABCD内切球的表面积为(　 ) A．3π B．(3－2)π C．12π D．(3＋2)π 答案：B 解析：因为四面体ABCD四个面都为直角三角形，AB⊥平面BCD，BC⊥CD， 所以AB⊥BD，AB⊥BC，BC⊥CD，AC⊥CD， 设四面体ABCD内切球的球心为O， 则VA­BCD＝VO­ABC＋VO­ABD＋VO­ACD＋VO­BCD＝r内(S△ABC＋S△ABD＋S△ACD＋S△BCD)， 所以r内＝， 因为四面体ABCD的表面积为SA­BCD＝S△ABC＋S△ABD＋S△ACD＋S△BCD＝1＋， 又因为四面体ABCD的体积VA­BCD＝，所以r内＝， 所以S球＝4πr2＝(3－2)π. [例2]　(1)(2023·全国甲卷)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝4，O为AC1的中点，若该正方体的棱与球O的球面有公共点，则球O的半径的取值范围是________． (2)(2023·全国乙卷)已知点S，A，B，C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥平面ABC，则SA＝________. [答案]　(1)[2，2]　(2)