第三板块 层级2 微专题(二) 立体几何中平行与垂直关系的证明（课件PPT）-【新高考方案】2024年高考数学(文科)二轮复习专题增分方略（老教材）

微专题(二)　立体几何中平行与垂直关系的证明 1 命题点(一)　空间中平行、垂直关系的证明 目 录 01 02 03 命题点(二)　平面图形的翻折问题 命题点(三)　线面位置关系的探究性问题 2 命题点(一)　空间中平行、垂直关系的证明 方法技巧 平行关系及垂直关系的转化 空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化． 针对训练 命题点(二)　平面图形的翻折问题 (1)证明：平面PED⊥平面BCDE； (2)当PC＝2时，求点D到平面PEB的距离． 方法技巧 求解平面图形“翻折”问题的方法 (1)分清翻折前后哪些位置关系和数量关系改变，哪些不变，抓住翻折前后不变的量，充分利用原平面图形的信息是解决问题的突破口． (2)把平面图形翻折后，经过恰当连线就能得到三棱锥、四棱锥等几何体，从而把问题转化到我们熟悉的几何体中解决． 针对训练 (1)求证：BC⊥平面ACD； (2)点F在棱CD上，且满足AD∥平面BEF，求几何体F­BCE的体积． 命题点(三)　线面位置关系的探究性问题 所以CD⊥平面BCE.又BE⊂平面BCE，所以CD⊥BE， 因为BC＝CE，且H为BE的中点，所以CH⊥BE. 又CH∩CD＝C，CH⊂平面DPHC，CD⊂平面DPHC， 所以BE⊥平面DPHC.又PM⊂平面DPHC，所以PM⊥BE. 方法技巧 与探索性问题有关的解题策略 (1)求条件探索性问题的主要途径：①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性． (2)涉及点的位置探索性问题，一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识找点． 针对训练 [例1](2023·全国乙卷)如图，在三棱锥P­ABC中，AB⊥BC，AB＝2，BC＝2，PB＝PC＝，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，点F在AC上，BF⊥AO. (1)求证：EF∥平面ADO. (2)若∠POF＝120°，求三棱锥P­ABC的体积． [解]　(1)证明：因为AB⊥BC，AB＝2，BC＝2，O是BC的中点，所以＝＝， 所以△OBA∽△ABC，所以∠CAB＝∠AOB. 记BF⊥AO的垂足为H，则△BHA∽△OBA， 所以∠HBA＝∠AOB. 所以∠HBA＝∠CAB，所以BF＝AF，∠BCF＝∠CBF，所以CF＝BF， 故CF＝AF，F是AC的中点． 因为E，F分别是AP，AC的中点，所以EF∥PC. 因为D，O分别是BP，BC的中点，所以DO∥PC， 所以EF∥DO. 又DO⊂平面ADO，EF⊄平面ADO， 所以EF∥平面ADO. (2)由(1)得FO∥AB， 因为AB⊥BC，所以FO⊥BC. 又PO⊥BC， 所以∠POF是二面角P­BC­F的平面角， 所以二面角P­BC­F的大小为120°. 如图，过点P作PM⊥平面ABC于点M，连接MO，MB， 则∠POM是二面角P­BC­M的平面角， 所以∠POM＝60°. 在△PBC中，由PB＝PC＝，BC＝2， 得PO＝2，所以PM＝. 所以三棱锥P­ABC的体积VP­ABC＝S△ABC×PM＝××2×2×＝. 1.在如图所示的多面体中，ABCD是正方形，A，D，E，F四点共面，AF∥平面CDE. (1)求证：BF∥平面CDE； (2)若AD＝DE＝3，AF＝1，EF＝，求证：AD⊥平面CDE. 证明：(1)由ABCD是正方形，可知AB∥DC， 而AB⊄平面CDE，所以AB∥平面CDE， 又AF∥平面CDE，AB∩AF＝A， 所以平面ABF∥平面CDE， 又BF⊂平面ABF，所以BF∥平面CDE. (2)因为AF∥平面CDE，AF⊂平面ADEF，平面CDE∩平面ADEF＝DE，所以AF∥DE. 如图，在线段ED上取点G，使得EG＝2，于是DG＝1＝AF， 而AF∥DG，所以ADGF是平行四边形． 所以FG＝AD＝3，又EF＝， 于是EF2＝EG2＋FG2， 即FG⊥EG，则AD⊥ED. 因为ABCD是正方形，有AD⊥DC， 而DC∩DE＝D，所以AD⊥平面CDE. 2.如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，平面ABC⊥平面ACC1A1，∠ABC＝90°，AB＝BC，四边形ACC1A1是菱形，∠A1AC＝60°，O是AC的中点． (1)证明：BC⊥平面B1OA1； (2)若点A1到平面OB1C1的距离为，求AC. 解：(1)证明：连接A1C，因为四边形ACC1A1是菱形，所以AC＝AA1，因为∠A1AC＝60°，所以△AA1C为等边三角形，所以A1O⊥AC，因为平面ABC⊥平面ACC1A1，平面ACC1A1∩平面ABC＝AC，A1O⊂平面ACC1A1，所以A1O⊥平面ABC