第一板块 层级2 微专题(三) 解三角形综合问题（课件PPT）-【新高考方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题增分方略（老教材）

微专题(三)　 解三角形综合问题 命题点(一)　利用正弦、余弦定理解三角形 目 录 命题点(二)　平面几何中解三角形问题 命题点(三)　解三角形中的最值与范围问题　 命题点(四)　正、余弦定理的实际应用 01 02 03 04 2 命题点(一)　利用正弦、余弦定理解三角形 (1)解三角形在高考中的考查主要是利用正、余弦定理求三角形的边、角、面积等基本计算，或将两个定理与三角恒等变换相结合解三角形. (2)关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口. ∵A＋B＝π－C，∴sin(A＋B)＝sin C， ∴sin(A－B)－sin B＝sin C＝sin(A＋B)， ∴sin Acos B－cos Asin B－sin B＝sin Acos B＋cos Asin B， ∴－2cos Asin B＝sin B. 利用正、余弦定理解三角形的关键点 (1)利用正、余弦定理解三角形时，涉及边与角的余弦的积时，常用正弦定理将边化为角，涉及边的平方时，一般用余弦定理. (2)涉及边a，b，c的齐次式时，常用正弦定理转化为角的正弦值，再利用三角公式进行变形. 方法技巧 1.(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A). (1)若A＝2B，求C； (2)证明：2a2＝b2＋c2. 针对训练 将A＝2B代入sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)可得sin Csin B＝sin Bsin(C－A)， 因为B∈(0，π)，sin B≠0，所以sin C＝sin(C－A)， 又A，C∈(0，π)，所以C＋C－A＝π，即A＝2C－π， (2)证明：法一：由sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)可得， sin Csin Acos B－sin Ccos Asin B＝sin Bsin Ccos A－sin Bcos Csin A， 由正弦定理可得，accos B－bccos A＝bccos A－abcos C，即accos B＋abcos C＝2bccos A(*). 代入(*)式并整理得，2a2＝b2＋c2. 法二：因为A＋B＋C＝π， 所以sin Csin(A－B)＝sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2Acos2B－cos2Asin2B＝sin2A(1－sin2B)－(1－sin2A)sin2B＝sin2A－sin2B， 同理有sin Bsin(C－A)＝sin(C＋A)sin(C－A)＝sin2C－sin2A，又sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)， 所以sin2A－sin2B＝sin2C－sin2A， 由正弦定理可得2a2＝b2＋c2. 解：(1)△ABC同时满足①，③，④. 因为：若△ABC同时满足①，②， 则在锐角△ABC中， 所以△ABC不能同时满足①，②. 由已知得△ABC一定同时满足③，④ . 因为c>a，所以C>A，若△ABC满足②， 所以△ABC不满足②. 所以△ABC满足①，③，④. 命题点(二)　平面几何中解三角形问题 [关键点拨] 切入点 (1)设BC＝CD＝x>0，在△ABC，△ACD中分别利用余弦定理可得出关于x，cos B的方程组，解出cos B的值，结合角B的取值范围可求得角B的值； (2)利用正弦定理可求得∠BPC的正弦值，再利用勾股定理求出PB，即可求得PA的长 隐藏点 B＋D＝π⇒cos D＝cos(π－B)＝－cos B在余弦定理中的应用 [解]　(1)设BC＝CD＝x>0， 在△ABC中由余弦定理，得AC2＝36＋x2－2×6xcos B＝28，即x2＋8＝12xcos B，① 又在△ACD中由余弦定理，得AC2＝4＋x2－2×2xcos D＝28，即x2－24＝4xcos D，② 因为B＋D＝π，则cos D＝cos(π－B)＝－cos B， 方法技巧 平面几何中解三角形问题的求解思路 (1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解. (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果. 针对训练 解：(1)因为D为BC的中点， 所以BD＝DC＝2，a＝4. (2)因为D为BC的中点，所以BC＝2BD. 命题点(三)　解三角形中的最值与范围问题　 (1)解三角形中的最值与范围问题主要是求平面图形(一般为三角形或四边形)的面积、周长、边长等的最值或范围. (2)解题的关键在于根据题目条件恰当的表示目标函数，并选择适当的工具：三角函数的有界性，基本不等式、二次函数等. [关