第一板块 层级2 微专题(二) 平面向量（课件PPT）-【新高考方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题增分方略（老教材）

微专题(二)　 平面向量 命题点(一)　三点共线的应用　 目 录 命题点(二)　平面向量中的最值和范围问题　 命题点(三)　极化恒等式的应用　 01 02 03 2 命题点(一)　三点共线的应用　 [关键点拨] [答案]　D [答案]　C [解析]　∵AB∥CD， 平面向量中的爪子模型指三点共线的向量问题模型，由于其几何图形看起来像爪子，故称之为爪子模型.解题关键点如下： 方法技巧 答案：A　 针对训练 命题点(二)　平面向量中的最值和范围问题　 A.36　　　B.37　　　C.21　　　D.22 [答案]　D [关键点拨] 切入点 利用勾股定理求|PA|，进而得∠POA，设OP绕点P按逆时针旋转θ后与PD重合 迁移点 求数量积的最值转化为求三角函数最值 障碍点 不能得出θ的范围或直接分类讨论点A、D的位置而加大计算量 [答案]　A 方法技巧 平面向量中有关最值、范围问题求解的两种思路 形化 利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断 数化 利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决 针对训练 答案：[－2,2] 命题点(三)　极化恒等式的应用　 (2)利用极化恒等式可以计算向量的数量积、求数量积的最值和范围、求参数的值等. [答案]　[0,2] 方法技巧 利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题. 针对训练 [例1]　在△ABC中，点D在BC上，且满足|BD|＝|BC|，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足＝x＋y，则＋的最小值为(　 ) A.2 B.4 C.4＋2 D.9＋4 切入点 由A，E，D三点共线，得x与y的关系式 隐藏点 若A，B，C三点共线，则存在实数λ，使＝λ＋(1－λ) 障碍点 想不到利用基本不等式求解 [解析]　因为|BD|＝|BC|，＝x＋y，所以＝x＋4y. 由A，E，D三点共线可得x＋4y＝1，且x>0，y>0. 所以＋＝(x＋4y)＝9＋＋≥9＋2＝9＋4， 当且仅当x＝y，即时取等号. [例2]　在四边形ABCD中，AB∥CD，设＝λ＋μ(λ，μ∈R).若λ＋μ＝，则＝(　 ) A. B. C. D. ∴设＝k，则＝k，k>0， ∵＝＋＝k＋＝λ＋μ， ∴∵λ＋μ＝， ∴1＋k＝，即k＝，即＝.故选C. 确定共线的三点 找到平面内共线的三点M，O，N和任意一点A 写成规范形式 ＝x＋y 应用结论 M，O，N三点共线⇔存在实数λ，使得＝λ＋(1－λ) 1.在梯形ABCD中，AB∥CD且AB＝4CD，点P在边BC上，若＝＋λ，则实数λ＝(　 ) A. B. C. D. 解析：延长AD，BC交于点E，则B，P，E三点共线，于是可得＝＋， 因为AB∥CD且AB＝4CD，所以＝，所以＝＋×＝＋，故λ＝. 2.已知G为△ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q，若＝，则△ABC与△APQ面积的比值为________. 答案： 解析：设＝μ(0<μ≤1)，因为G为△ABC的重心，所以＝(＋)＝＝＋，由P，G，Q三点共线， 得＋＝1，解得μ＝， 所以＝＝＝. [例3]　在平行四边形ABCD中，AB＝，AD＝2，∠A＝135°，E，F分别是AB，AD上的点，且＝λ，＝μ(其中λ，μ∈(0,1))，且3λ＋μ＝1.若线段EF的中点为M，则当||取最小值时，的值为(　 ) [解析]　＝－＝(＋)－(＋)＝(λ＋μ)－(＋)＝＋， 所以||2＝22＋22＋2·＝22＋42＋2××2×＝λ2－λ＋1， 所以||＝＝， 因为μ＝1－3λ∈(0,1)，所以0<λ<， 所以当λ＝时，||取得最小值，此时μ＝1－3λ＝1－＝，所以＝＝22. [例4]　(2023·全国乙卷)已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若|PO|＝，则·的最大值为(　 ) A. B. 　 C.1＋ 　 D.2＋ [解析]　连接OA，由题可知|OA|＝1，OA⊥PA，因为|OP|＝，所以由勾股定理可得|PA|＝1，则∠POA＝.设直线OP绕点P按逆时针旋转θ后与直线PD重合，则－<θ<，∠APD＝＋θ，且|PD|＝cos θ.所以·＝||||cos＝cos θcos＝cos θ＝cos2θ－sin θcos θ＝＋cos 2θ－sin 2θ＝＋cos≤＋，故选A. 3.如图，在直角梯形ABCD中，A＝B＝90°，AD＝4，AB＝BC＝2，点M在以CD为直径的半圆上，且满足＝m＋n，则m＋n的最大值