第三板块 层级2 微专题(一) 球的切、接问题与动态问题（课件PPT）-【新高考方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题增分方略（老教材）

微专题(一) 　球的切、接问题与动态问题 命题点(一)　几何体的内切球 命题点(二)　几何体的外接球 命题点(三)　动态问题 目 录 01 02 03 3 命题点(一)　几何体的内切球 (1)内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等. (2)正多面体的内切球和外接球的球心重合. (3)正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合. [答案]　B [例2]　已知一个棱长为a的正方体木块可以在一个圆锥形容器内任意转动，若圆锥的底面半径为2，母线长为4，则a的最大值为________. [关键点拨] 切入点 求圆锥的内切球半径 迁移点 涉及与旋转体有关问题，想不到作出轴截面，借助平面几何知识求解 隐藏点 圆锥轴截面正三角形的内切圆是圆锥内切球的截面大圆 处理球的“切”问题的求解策略 与球有关的内切问题主要是指球内切于多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果内切于多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作. 方法技巧 1.已知△ABC中，AB＝4，BC＝3，AC＝5，以AC为轴旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为(　 ) 针对训练 答案：B　 2.在《九章算术·商功》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，AB＝BC＝CD＝1，BC⊥CD，则鳖臑ABCD内切球的表面积为(　 ) 答案：B　 命题点(二)　几何体的外接球 空间几何体的外接球是高中数学的重点、难点，也是高考命题的热点，一般通过对几何体的割补或寻找几何体外接球的球心两大策略解决此类问题. [关键点拨] 切入点 由球的体积求球的半径，设正四棱锥的底面边长a及高h，利用两个直角三角形建立关于a，h的方程组，用l表示h，a 迁移点 看清球中的优美直角三角形，并适时应用勾股定理 障碍点 不会构造函数，利用导数求体积的范围 [答案]　C [例4]　(2023·全国乙卷)已知点S，A，B，C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥平面ABC，则SA＝________. [答案]　2 方法技巧 多面体的外接球的求解策略 涉及球与棱柱、棱锥的问题时，一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，确定球心的位置，弄清球的半径(或直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解. 针对训练 3.(2022·全国乙卷)已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为(　 ) 答案：C　 4.(2023·张掖测试)已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱垂直于底面，且所有顶点都在同一个球面上，若AA1＝AC＝2，AB⊥BC，则此球的体积为________. 解析：设△ABC的外接圆的圆心为D，半径为r，球的半径为R，球心为O， 底面△ABC为直角三角形，故其外接圆圆心D在斜边中点处，则r＝1， 命题点(三)　动态问题 在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体(包括圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥、正方体、长方体等等)，得到的平面图形，当点动时又形成了轨迹问题，这两类问题通常结合在一起进行考查，主要考查空间想象能力和计算能力，难度较大. [例5]　如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，AB∥CD，∠DCB＝90°，AB＝AD＝AA1＝2DC，Q为棱CC1上一动点，过直线AQ的平面分别与棱BB1，DD1交于点P，R，则下列结论正确的是________. ①对于任意的点Q，都有AP∥QR； ②对于任意的点Q，四边形APQR不可能为 平行四边形； ③当DB＝PR时，存在点Q，使得△ARP为等腰直角三角形； ④存在点Q，使得直线BC∥平面APQR. [答案]　①②④ [解析]　对于①，∵AB∥CD，CD⊂平面CDD1C1，AB⊄平面CDD1C1，∴AB∥平面CDD1C1. 同理AA1∥DD1，∴AA1∥平面CDD1C1， AB，AA1⊂平面ABB1A1，AB∩AA1＝A，∴平面ABB1A1∥平面CDD1C1. ∵平面APQR∩平面ABB1A1＝AP，平面APQR∩平面CDD1C1＝RQ，∴AP∥QR，故①正确. 对于②，∵四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD， ∴平面BCC1B1与平面ADD1A1不平行. ∵平面APQR∩平面BCC1B1＝PQ，平面APQR∩平面ADD1A1＝AR， ∴PQ与AR不平行，故四边形APQR不可能为平行四边形，故②正确. 对于③，∵DB＝PR，∴DR＝BP.∴AR＝AP.要使△ARP为等腰直角三角形，则∠DAB≥90°，但根据题意∠DAB<90°，故③不正确. 对于④，延