第三板块 层级2 微专题(三) 立体几何中的综合问题（课件PPT）-【新高考方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题增分方略（老教材）

微专题(三)　 立体几何中的综合问题 命题点(一)　立体几何中的折叠问题　 命题点(二)　立体几何中的探究性问题　 命题点(三)　立体几何中的最值问题 目 录 01 02 03 2 命题点(一)　立体几何中的折叠问题　 对立体几何中的折叠问题，要求学生要有较强的空间想象力和准确的计算运算能力，才能顺利解答.从实际教学和考试来看，学生对这类题看到就头疼.分析原因，首先是学生的空间想象力较弱，其次是学生对这类问题没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.解题的关键是抓住翻折后的变与不变量. [例1]　已知平面四边形ABCM由等腰△MAC和Rt△ABC组成，AB⊥BC，MA＝MC，O为AC上的点且OA＝OC＝BC＝2(如图1所示)，将等腰△MAC沿AC折起，点M折至点D位置，使得平面DAC⊥平面ABC(如图2所示). [关键点拨] 切入点 通过面面垂直的性质证明DO⊥平面ABC，进而证明DO⊥AB 迁移点 建立坐标系，写出两个平面的法向量，通过锐二面角的余弦值求出参数，进而计算四面体ABCD的体积 [解]　(1)证明：因为MA＝MC，OA＝OC， 所以在△ACD中，DO⊥AC. 又因为平面DAC⊥平面ABC，平面DAC∩平面ABC＝AC，DO⊂平面DAC， 所以DO⊥平面ABC， 又因为AB⊂平面ABC， 所以DO⊥AB. (2)在平面ABC内过点O作AC的垂线，建立空间直角坐标系如图所示， 画好翻折前后的平面图形与立体图形，分清翻折前后图形的位置和数量关系的变与不变.一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决. 方法技巧 1.如图甲是由直角梯形ABCD和等边三角形CDE组成的一个平面图形，其中BC∥AD，AB⊥BC，AD＝2BC＝2AB＝2，将△CDE沿CD折起使点E到达点P的位置(如图乙)，使二面角P－CD－B为直二面角. 针对训练 (1)证明：AC⊥PD； (2)若平面PCD与平面PAB的交线为l，求l与平面PAD所成角的正弦值. 解：(1)证明：取AD中点为F，连接CF，由AD＝2BC得AF∥BC且AF＝BC. ∴四边形ABCF为平行四边形， ∴CF＝AF＝DF，∴AC⊥CD， 又因为二面角P－CD－B为直二面角，且平面PCD∩平面ABCD＝CD， ∴AC⊥平面PCD，又因为PD⊂平面PCD， 所以AC⊥PD. (2)延长AB和DC交于点G，连接GP，则GP为平面PCD与平面PAB的交线l， 取CD中点为O，连接OF，OP， ∵OP⊥AC，OF∥AC， ∴OP⊥OF，OF⊥CD，OP⊥CD， 以O为坐标原点，OF，OD，OP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 命题点(二)　立体几何中的探究性问题　 与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系；另一类是探究线面角或两平面的夹角满足特定要求时的存在性问题.处理原则：先建立空间直角坐标系，引入参数(有些是题中已给出)，设出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从而作出判断. [例2]　如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，G为棱DD1上的动点. (1)求证：B，E，D1，F四点共面； (2)是否存在点G，使得平面GEF⊥平面BEF？若存在，求出DG的长度；若不存在，说明理由. [关键点拨] 切入点 以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系 迁移点 假设存在满足题意的点G，根据题意列方程求解 [解]　(1)证明：如图所示. 连接D1E，D1F，取BB1的中点为M，连接MC1，ME， 因为E为AA1的中点，所以EM∥A1B1∥C1D1，且EM＝A1B1＝C1D1， 所以四边形EMC1D1为平行四边形， 所以D1E∥MC1， 又因为F为CC1的中点， 所以BM∥C1F，且BM＝C1F， 所以四边形BMC1F为平行四边形， 所以BF∥MC1，所以BF∥D1E， 所以B，E，D1，F四点共面. (2)以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，假设存在满足题意的点G，设G(0,0，t)(0≤t≤2)，由已知B(1,1,0)，E(1,0,1)，F(0,1,1)， 设平面GEF的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)， 取x2＝t－1，则n2＝(t－1，t－1,1). 因为平面GEF⊥平面BEF， 所以n1·n2＝0， 由t－1＋t－1＋1＝0， 方法技巧 解决立体几何中探索性问题的基本方法 (1)通常假设问题中的数学对象存在或