第三板块 层级2 微专题(二) 空间向量与空间角、距离问题（课件PPT）-【新高考方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题增分方略（老教材）

微专题(二)　 空间向量与空间角、距离问题 命题点(一)　线面角　 命题点(二)　二面角 命题点(三)　距离问题 目 录 01 02 03 2 命题点(一)　线面角　 [例1]　(2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AA1＝2，A1到平面BCC1B1的距离为1. (1)证明：A1C＝AC； (2)已知AA1与BB1的距离为2，求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值. [解]　(1)证明：过A1作A1D⊥CC1，垂足为D， ∵A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴A1C⊥BC， 又∠ACB＝90°， ∴AC⊥BC， ∵A1C，AC⊂平面ACC1A1，且A1C∩AC＝C， ∴BC⊥平面ACC1A1， ∵A1D⊂平面ACC1A1，∴BC⊥A1D， 又CC1，BC⊂平面BCC1B1，且CC1∩BC＝C， ∴A1D⊥平面BCC1B1， ∴A1D＝1. 由已知条件易证△CA1C1是直角三角形，又CC1＝AA1＝2，A1D＝1， ∴D为CC1的中点，又A1D⊥CC1，∴A1C＝A1C1， 又在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝A1C1， ∴A1C＝AC. (2)如图，连接A1B，由(1)易证A1B＝A1B1，故取BB1的中点F，连接A1F， ∵AA1与BB1的距离为2，∴A1F＝2， 又A1D＝1且A1C＝AC， 利用空间向量求线面角的解题模型 方法技巧 (1)证明：ME∥平面DCC1D1； (2)求AE与平面B1BCC1所成的角的正弦值. 针对训练 所以四边形MHPE为平行四边形， 所以ME∥PH，又PH∥CD，所以ME∥CD， 因为CD⊂平面DCC1D1，ME⊄平面DCC1D1， 所以ME∥平面DCC1D1. (2)因为四边形A1ADD1为矩形，所以DD1⊥AD，因为平面A1ADD1⊥平面ABCD，且平面A1ADD1∩平面ABCD＝AD，所以D1D⊥平面ABCD，故D1D⊥CD， 以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设AB＝1，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,2,0)， 命题点(二)　二面角 [例2]　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，△PAB为正三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD，PM＝MD. (1)求证：BP∥平面ACM； (2)求二面角M－BC－D的余弦值. [关键点拨] 切入点 (1)在平面ACM内找与PB平行的线； (2)建立坐标系，利用向量法求解 迁移点 (1)把线面平行问题转化为线线平行问题； (2)把求二面角问题转化为求两法向量的夹角问题 障碍点 不会建系.本题不能直接建系，需根据侧面PAB⊥底面ABCD，作交线AB的垂线，可得平面ABCD的垂线，从而建立坐标系 [解]　(1)证明：连接BD，与AC交于O，连接OM，在△PBD中，因为O，M分别为BD，PD的中点，所以BP∥OM.因为BP⊄平面ACM，OM⊂平面ACM，所以BP∥平面ACM. (2)设E是AB的中点，连接PE，因为△PAB为正三角形，所以PE⊥AB. 又因为面PAB⊥底面ABCD，面PAB∩底面ABCD＝AB，PE⊂平面PAB，所以PE⊥平面ABCD. 过E作EF平行于CB与CD交于F.以E为原点，分别以EB，EF，EP为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz， 因为PE⊥平面ABCD， 所以平面ABCD的法向量m＝(0,0,1)， 设二面角M－BC－D的大小为θ， 方法技巧 利用空间向量求二面角的解题模型 针对训练 2.(2023·新高考Ⅰ卷)如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4.点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3. (1)证明：B2C2∥A2D2； (2)点P在棱BB1上，当二面角P－A2C2－D2为150°时，求B2P. 解：(1)证明：以点C为坐标原点，CD，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B2(0,2,2)，C2(0，0,3)，A2(2,2,1)，D2(2,0,2)， (2)设BP＝m(0≤m≤4)，则P(0,2，m)， 整理得m2－4m＋3＝0，解得m＝1或m＝3， 所以P(0,2,1)或P(0,2,3)，所以B2P＝1. 命题点(三)　距离问题 [例3]　如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面圆周上，AF⊥DE，F为垂足. (1)求证：AF⊥DB； (2)当直线DE与平面ABE所成角的正切值为2时， ①求二面角E－DC－B的余弦值； ②求点B到平面CDE的距离. [解]　(1)证明：由题意可知DA