第二板块 层级2 微专题(二) 数列的递推关系与子数列问题（课件PPT）-【新高考方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题增分方略（老教材）

微专题(二)　 数列的递推关系与子数列问题 命题点(一)　构造法求数列的通项公式　 目 录 命题点(二)　数列的奇偶项问题 命题点(三)　数列的公共项问题 01 02 03 2 命题点(一)　构造法求数列的通项公式　 [关键点拨] [解]　(1)由an＋1＝3an＋6，得an＋1＋3＝3(an＋3)，所以{an＋3}是以1为首项，3为公比的等比数列，所以an＋3＝3n－1，故an＝3n－1－3. (2)由an＋1－2an＝2n＋1，左、右两边同除以2n＋1， 1.用“待定系数法”构造等比数列 方法技巧 2.用“同除法”构造等差数列 1.在数列{an}中，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2，则a2 023的值为(　 ) A.1 517×22 024 B.1 517×22 023 C.1 517×22 022 D.无法确定 答案：B 解析：∵a1＝1，Sn＋1＝4an＋2，∴S2＝a1＋a2＝4a1＋2，解得a2＝5. ∵Sn＋1＝4an＋2，∴Sn＋2＝4an＋1＋2，两式相减得，an＋2＝4an＋1－4an，∴an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)， 针对训练 答案：C　 答案：2n 命题点(二)　数列的奇偶项问题 数列中的奇、偶项问题是对一个数列分成两个新数列进行单独研究，利用新数列的特征(等差、等比数列或其他特征)求解原数列. 数列中的奇、偶项问题的常见题型： (1)数列中连续两项和或积的问题(an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n))； (2)含有(－1)n的类型； (3)含有{a2n}，{a2n－1}的类型； (4)已知条件明确的奇、偶项问题. (1)求{an}的通项公式； (2)证明：当n＞5时，Tn＞Sn. [解]　(1)设等差数列{an}的公差为d. 因为S4＝32，T3＝16， (2)证明：由(1)知an＝2n＋3， 综上可知，当n＞5时，Tn＞Sn. 方法技巧 1.奇偶两重天 (1)项的奇偶性：数列中的奇数项、偶数项数列问题实质上是对一个数列划分成两个新的数列进行考查，很多同学对n为奇数时的情形产生混淆，往往会弄错新数列与原数列的项数； (2)项数的奇偶性：数列{an}中的任意一项an的角标不是奇数就是偶数. 2.处理策略 奇偶分离法，其本质其实就是分类讨论，只不过分类标准是项的奇偶性，按照奇数项与偶数项分而治之地进行操作.分类讨论的一层涵义是不能合而分，我们也不要忽视分类讨论的另一层涵义是能合而不分，能够站在整体视角看的就可以通过具体手段巧妙地避免分类讨论. 针对训练 A.14 B.15 C.16 D.17 答案：C　 5.(2023·成都二模)已知{an}是递增的等差数列，a1＋a5＝18，a1，a3，a9分别为等比数列{bn}的前三项. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)删去数列{bn}中的第ai项(其中i＝1,2,3，…)，将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{cn}，求数列{cn}的前n项和Sn. (2)由题意可知新数列{cn}为b1，b2，b4，b5，…， 若n＝1，则S1＝b1＝3，也符合上式. 命题点(三)　数列的公共项问题 将数列{an}与{bn}看成两个集合，这两个集合的交集中的元素按照一定的顺序排成一列数，形成的新数列，成为两个数列的公共数列，其中的这些元素就是数列的公共项. [例3]　将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________. [答案]　3n2－2n [解析]　设bn＝2n－1，cn＝3n－2，bn＝cm， 则2n－1＝3m－2， 于是m－1＝2k，k∈N， 所以m＝2k＋1，k∈N， [例4]　已知两个等差数列{an}：5,8,11，…与{bn}：3,7,11，…，它们的公共项组成数列{cn}，则数列{cn}的通项公式cn＝________；若数列{an}和{bn}的项数均为100，则{cn}的项数是________. [答案]　12n－1　25 [解析]　由于数列{an}是以3为公差的等差数列，数列{bn}是以4为公差的等差数列，所以{cn}也是等差数列，且公差为3×4＝12， 又c1＝11，故cn＝11＋12(n－1)＝12n－1. 又a100＝5＋(100－1)×3＝302，b100＝3＋(100－1)×4＝399， 方法技巧 求两个数列的公共项有两种方法 不定方程法 列出两个项相等的不定方程，求出符合条件的项，并解出相应的通项公式 周期法 寻找下一项；通过观察找到首项后，从首项开始向后，逐项判断，并找到规律(周期)，分析相邻两项之间的关系，从而得到通项公式 针对训练 6.我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二