6.2.4 向量的数量积10种常考题型归类-2023-2024学年高一数学高频考点通关与解题策略(人教A版2019必修第二册)

6.2.4 向量的数量积10种常考题型归类 2023-2024学年高一数学高频考点通关与解题策略 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 向量数量积的概念及运算律 题型2 向量数量积的简单计算 题型3 平面几何图形中的向量的数量积的计算 题型4 已知数量积求模 题型5 利用向量数量积判断平面图形形状 题型6 向量数量积的最值问题 题型7 向量的模问题 （1） 求向量的模 （2）已知模求数量积 （3）已知模求参数 （4）模的最值问题 题型8 向量垂直问题 题型9向量夹角问题 （1） 求向量的夹角 （2） 已知向量的夹角求参数 题型10求投影向量 1、向量数量积的求法 (1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键．（注：两向量的夹角要共起点且夹角的范围为） (2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．　 2、求向量模的一般思路及常用公式 (1)求向量模的常见思路 (2)常用公式 ①(a－b)·(a＋b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2； ②|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.　　　　 3、解决向量垂直问题一般思路 解决向量垂直问题常用向量数量积的性质a⊥b⇔,a·b＝0.这是一个重要性质，对于解平面几何图形中有关垂直问题十分有效，应熟练掌握. 4、求向量a，b的夹角θ的思路 (1)求向量的夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos θ＝，最后借助θ∈[0，π]，求出θ值． (2)在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cos θ的值． 5、解决向量投影问题应注意以下三点 (1)向量a在b方向上的投影向量为|a|cos θ e(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b夹角θ的余弦决定． (2)向量a在b方向上的投影向量·. (3)注意：a在b方向上的投影向量与b在a方向上的投影向量不同，即向量b在a上的投影向量可表示为|b|cos θ. 题型1 向量数量积的概念及运算律 1．（2023下·甘肃兰州·高一统考期末）等边三角形中，与的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．（2023下·江西上饶·高一校联考阶段练习）在等腰梯形 中，，，则下列各组向量夹角为的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．【多选】（2023下·湖南益阳·高一安化县第二中学校考阶段练习）下列说法不正确的有（    ） A．若，，则 B．若，则与的方向相同或相反 C．若，则 D．若，，则 4．【多选】（2023上·四川成都·高二成都七中校考期中）下列说法正确的是（    ） A．对任意向量，都有 B．若且，则 C．对任意向量，都有 D．对任意向量，都有 5．（2024上·北京东城·高三统考期末）已知非零向量，，满足，且，对任意实数，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（2022上·河北邯郸·高二校考期中）若均为非零向量，则是与共线的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 题型2 向量数量积的简单计算 7．（2023上·江西新余·高二新余市第一中学校考开学考试）已知向量与的夹角为，，，则 ． 8．（2023上·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）已知向量满足，则（    ） A． B． C．0 D．2 9．（2015上·云南德宏·高三校考阶段练习）已知向量与的夹角为，且，，则 . 10．（2022上·福建漳州·高三校考期中）已知平面向量均为单位向量，若，且，则（    ） A． B． C． D． 11．（2024上·重庆·高三统考期末）若向量，满足，，若与的夹角为锐角，则的取值范围是 ． 题型3 平面几何图形中的向量的数量积的计算 12．（2022上·贵州黔东南·高二校考期末）在矩形中，，点分别是的中点，则 ． 13．（2023上·四川成都·高二石室中学校考开学考试）在中，，M是边的中点，O为的外心，则（    ） A．8 B． C．16 D．17 14．（2023上·北京海淀·高二校考阶段练习）如图，在圆中，已知弦，弦，那么的值为（    ）    A． B． C． D． 15．（2023上·内蒙古鄂尔多斯·高三期末）在边长为6的菱形ABCD中，，，则=（ ） A．15 B． C．30 D．20 16．（2023·安徽·校联考一模）在三角形中，，，，则（    ） A．10 B．12 C