5.1 相交线-2023-2024学年七年级数学下学期同步备课讲义（人教版）

5.1 相交线 1.理解邻补角、对顶角的概念并掌握对顶角的性质。 2.理解垂线、垂线段的概念并掌握其性质，理解点到直线的距离的意义并会度量。 3.能用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线，能够利用所学知识解释生活中的一些现象及解决一些简单的实际问题。 4.正确识别截线和被截直线，能从图形中找出某个角的同位角、内错角或同旁内角，能从复杂图形中识别三线八角，会把复杂图形化为基本图形。 知识点一 邻补角和对顶角的概念 1.邻补角（如图） 和有一条公共边OD，它们的另一边互为反向延长线，且和互补，具有这种关系的两个角，互为邻补角。 【注意】 (1)邻补角是成对出现的，单独的一个角或两个以上的角不能称为邻补角； (2)邻补角的名称既包含位置关系(两角相邻)，又包含数量关系(两角互补)； (3)两条直线相交形成四对邻补角； (4)一个角的邻补角最多有两个，但补角可以有很多个，邻补角是补角的一种特殊情况。 2.对顶角（如上图） （1）概念：和有一个公共顶点 O，并且的两边分别是的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角。 （2）性质：对顶角相等。 推理过程：与互补，与互补，由“同角的补角相等”，可以得出：=；同理=。 几何符号语言：（邻补角的定义）； （邻补角的定义）； （同角的补角相等） 题型一 利用邻补角的定义求角度 【例题】如图，O为直线上一点，平分，，． (1)求的度数； (2)求和的度数． 【即学即练1】如图，直线、相交于点O，平分，平分，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【即学即练2】如图，直线，相交于点O，平分． (1)若，．则　　°； (2)若平分，，求的度数． 题型二 对顶角相等 【例题】如图，直线和相交于O，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【即学即练2】如图，直线、相交于点，平分，． (1)求的度数； (2)若，是否平分？ 【即学即练2】如图，直线相交于点O，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 知识点二 垂线及其性质 1.垂直的定义（如图） （1）当时，我们说AB与CD互相垂直，记作AB⊥CD。此时两条直线的任意一个夹角为 。 （2）垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 （3）垂直是两条直线的位置关系，垂直是相互的，即AB⊥CD也可以写成CD⊥AB。根据两条直线垂直的定义可知，如果两条直线相交所成的四个角中的任意一个角等于90°，那么这两条直线垂直。 几何符号语言： ；（垂直的定义）。或者；（垂直的定义） 2.垂直的性质 （1）垂线的画法： 用直尺和三角尺过一点画已知直线的垂线的方法 ①贴：把直尺贴在已知直线上。 ②靠：将三角尺的一条直角边靠在直尺上。 ③移：移动三角尺，使三角尺的另一条直角边经过已知点。 ④画：沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线。 （2）垂线的性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 （3）垂线的性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 简单说成：垂线段最短。 （4）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 题型三 垂线的概念 【例题】如图，已知，，平分，平分，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【即学即练1】如图，直线与交于点O，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【即学即练2】如图，与相交于点，，垂足为，若，则（    ） A． B． C． D． 题型四 垂线段最短 【例题】如图，平面上的三个点A，B，D．按照下列要求画出图形： (1)作直线，射线，连接； (2)在射线上作点C，使； (3)在中，最短的线段是______，依据是______． 【即学即练1】已知：点P是直线外一点，点A、B、C是直线上三点，分别连接． (1)通过测量的方法，比较的大小，直接用“＞”连接； (2)在直线上能否找到一点D，使的长度最短？如果有，请在图中作出线段，并说明它的理论依据；如果没有，请说明理由． 【即学即练2】如图，将一块直角三角板的直角顶点O放在直线上． (1)若线段的长是点C到直线的距离，则点D在直线______（填“上”或“外”）． (2)比较与的大小，并说明理由． 题型五 点到直线的距离 【例题】如图，，于D，则下列结论中，正确的个数为（    ） ①：②与互相垂直；③点C到的垂线段是线段；④点A到的距离是线段的长度；⑤线段的长度是点C到的距离：⑥线段的长度是点D到的距离． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【即学即练】如图．，，垂足分别为、．下列说法中错误的是（    ） A．线段的长是点到的距离 B．、、三条线段，最短 C．线段的长是点到的距离 D．线段的长是点